Universität zu Köln

Numerische Verfahren zur Lösung des Transmissions-Problems in speziellen Billards und ihre Anwendung zur Konstruktion von Quantenkaskaden-Lasern

Heider, Pascal (2005) Numerische Verfahren zur Lösung des Transmissions-Problems in speziellen Billards und ihre Anwendung zur Konstruktion von Quantenkaskaden-Lasern. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    Die physikalische Modellierung von Halbleiter-Lasern führt über die Maxwell-Gleichungen auf ein 2-dimensionales Transmissions-Problem, bei dem eine Lösung der Helmholtz-Gleichung im Inneren eines beschränkten Gebiets mit Wellenzahl n k und im Äußeren eine Lösung mit Wellenzahl k gesucht ist, so daß beide Lösungen über den Rand stetig differenzierbar sind. In dieser Arbeit wird ein Prädiktor-Korrektor-Algorithmus vorgestellt, der es im Unterschied zu früheren Verfahren gestattet, alle Eigenwerte in einem vorgegebenen Bereich direkt, sukzessiv und effizient zu berechnen, so daß die Entwicklung von Suchstrategien wie bei früheren Algorithmen obsolet wird. Das Verfahren setzt auf einer Randintegraldiskretisierung der jeweiligen Helmholtz-Operatoren auf, deren Diskretisierungsfehler bei der Berechnung der Eigenfunktionen bzw. Eigenwerten exponentiell kleiner wird. Wenn das Ausgangsgebiet durch eine Billard-Kurve berandet wird, die durch eine Familie von p-periodischen Orbits beschrieben ist, können im quasi-klassischen Grenzübergang die Lösungen des Transmissions-Problems mittels Trajektorien dieses Billards approximiert werden. Die Existenz solcher Billards wurde von Y. Baryshnikov und V. Zharnitsky bewiesen. In der vorliegenden Arbeit werden zwei numerische Konstruktionsverfahren für solche Billards angegeben. Insbesondere wird gezeigt, daß sie Lösungen des Transmissions-Problems besitzen, welche im Inneren des Billards lokalisiert sind.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    The modelling of semi-conductor lasers via Maxwell's equations results in a 2-dimensional transmission-problem, for which a solution of Helmholtz's equation with wavenumber n k in the interior of a bounded domain and a solution with wavenumber k in the exterior has to be found, such that both solutions are continously differentiable across the boundary. This thesis presents a predictor-corrector algorithm, which allows a direct, successive and efficient calculation of all eigenvalues in a prescribed range, hence making the development of search strategies obsolete in contrast to former algorithms. The method is based on a boundary integral discretisation of the Helmholtz-operators, whose discretisation error of the eigenfunctions and eigenvalues decreases exponentially. In the case of a domain bounded by a billiard-curve, which is described by a family of p-periodic orbits, the solutions of the transmission-problem in the quasi-classical limit can be approximated by classical trajectories in the billiard. The existence of such billiards was shown by Y. Baryshnikov and V. Zharnitsky. In this thesis two numerical methods for the explicit construction of such billiards are developed. Moreover, it will be shown that these billiards have solutions of the transmission-problem, which are localized in the interior of the billiard.English
    Creators:
    CreatorsEmail
    Heider, Pascalpheider@mi.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-16251
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    Billards Transmission Quantenkaskaden-LaserGerman
    billiards transmission quantum-cascade laserEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: German
    Date: 2005
    Date Type: Completion
    Date of oral exam: 08 November 2005
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 25 Jan 2006 11:49:25
    Referee
    NameAcademic Title
    Seydel, RüdigerProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/1625

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