Universität zu Köln

Effizientes Schätzen von Erwartungswerten im nichtparametrischen Regressionsmodell mit fehlenden Zielvariablen

Schulz, Markus (2010) Effizientes Schätzen von Erwartungswerten im nichtparametrischen Regressionsmodell mit fehlenden Zielvariablen. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    In dieser Arbeit wird ein nichtparametrisches Regressionsmodell mit zentrierten Fehlern und Zielvariablen, die zufällig fehlen (MAR), untersucht. Unser Hauptziel ist es, einen Schätzer für den Erwartungswert einer Funktion der Beobachtungen zu finden, der im Hájek-Le Cam-Sinne effizient ist. In einigen ähnlichen Modellen wie einem linearen oder einem parametrischen Regressionsmodell haben andere Autoren effiziente Schätzer für den gleichen Erwartungswert konstruiert. Das hier betrachtete Problem wurde noch nicht behandelt, selbst im Fall nicht fehlender Daten. Daher muss man in einem ersten Schritt lokale asymptotische Normalität (LAN) des Modells nachgewiesen. Da der kanonische Gradient eines geeigneten Funktionals wesentlich für die Effizienz ist, wird er als nächstes berechnet. Dann wird mit vollständiger Imputation der Zielvariablen durch nichtparametrische Schätzer bedingter Erwartungswerte ein Schätzer konstruiert. Dafür wird die Regressionsfunktion durch eine beschränkte Version des Nadaraya-Watson-Schätzers geschätzt. Um zu untersuchen, ob der so konstruierte Schätzer effizient ist, wird die asymptotische Linearität des Schätzers und seine Einflussfunktion hergeleitet und mit dem kanonischen Gradienten verglichen. Es zeigt sich, dass der Schätzer nicht effizient ist. Dies unterscheidet sich vom Ergebnis im linearen und im parametrischen Regressionsmodell. Dennoch passt die bestimmte Einflussfunktion ganz gut zur gewünschten. Nach Addition eines Korrekturtermes erhalten wir schließlich einen effizienten Schätzer. Der letzte Schritt kann auch als zweiter Teil dieser Arbeit angesehen werden. Er enthält Argumente, die zuvor im Fall fehlender Daten noch nicht benutzt worden sind.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    In this work, we study a nonparametric regression model with centered errors and with response variables that are missing at random (MAR). Our main goal is to find an estimator for the expectation of a function of the observations which is efficient in the Hájek-Le Cam-sense. In some similar models such as a linear or a parametric regression model, other authors constructed efficient estimators for the same expectation value. The problem considered here has not yet been dealed with even in the case of non-missing response variables. Therefore, in a first step, we have to prove local asymptotic normality (LAN) of the model. As the canonical gradient of a suitable functional is essential for efficiency, it is calculated next. Then an estimator is constructed via full imputation of response variables with nonparametric estimators of conditional expectations. To do so the regression function is estimated by a truncated version of the Nadaraya-Watson estimator. In order to examine whether the estimator constructed above is efficient, asymptotic linearity of the estimator and its influence function are derived and compared with the canonical gradient. It turns out, however, that the resulting estimator is not efficient. This differs from the result in the linear and the parametric regression model. Nevertheless the determined influence function matches the desired one quite well. After adding a correction term we finally obtain an efficient estimator. The last step may also be regarded as second part of this work. It contains arguments which had not been used in the case of missing data before.English
    Creators:
    CreatorsEmail
    Schulz, Markusschulzm@math.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-31478
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    Effizienz , Nadaraya-Watson , Imputation , nichtparametrische Regression , asymptotisch linearGerman
    efficiency , Nadaraya-Watson estimator , imputation , nonparametric regression , asymptotic linearEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: German
    Date: 2010
    Date Type: Completion
    Date of oral exam: 20 April 2010
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 17 Aug 2010 09:04:44
    Referee
    NameAcademic Title
    Wefelmeyer, WolfgangProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/3147

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