Universität zu Köln

Efficient Pricing of High-Dimensional American-Style Derivatives: A Robust Regression Monte Carlo Method

Jonen, Christian (2011) Efficient Pricing of High-Dimensional American-Style Derivatives: A Robust Regression Monte Carlo Method. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    Pricing high-dimensional American-style derivatives is still a challenging task, as the complexity of numerical methods for solving the underlying mathematical problem rapidly grows with the number of uncertain factors. We tackle the problem of developing efficient algorithms for valuing these complex financial products in two ways. In the first part of this thesis we extend the important class of regression-based Monte Carlo methods by our Robust Regression Monte Carlo (RRM) method. The key idea of our proposed approach is to fit the continuation value at every exercise date by robust regression rather than by ordinary least squares; we are able to get a more accurate approximation of the continuation value due to taking outliers in the cross-sectional data into account. In order to guarantee an efficient implementation of our RRM method, we suggest a new Newton-Raphson-based solver for robust regression with very good numerical properties. We use techniques of the statistical learning theory to prove the convergence of our RRM estimator. To test the numerical efficiency of our method, we price Bermudan options on up to thirty assets. It turns out that our RRM approach shows a remarkable convergence behavior; we get speed-up factors of up to over four compared with the state-of-the-art Least Squares Monte Carlo (LSM) method proposed by Longstaff and Schwartz (2001). In the second part of this thesis we focus our attention on variance reduction techniques. At first, we propose a change of drift technique to drive paths in regions which are more important for variance and discuss an efficient implementation of our approach. Regression-based Monte Carlo methods might be combined with the Andersen-Broadie (AB) method (2004) for calculating lower and upper bounds for the true option value; we extend our ideas to the AB approach and our technique leads to speed-up factors of up to over twenty. Secondly, we research the effect of using quasi-Monte Carlo techniques for producing lower and upper bounds by the AB approach combined with the LSM method and our RRM method. In our study, efficiency has high priority and we are able to accelerate the calculation of bounds by factors of up to twenty. Moreover, we suggest some simple but yet powerful acceleration techniques; we research the effect of replacing the double precision procedure for the exponential function and introduce a modified version of the AB approach. We conclude this thesis by combining the most promising approaches proposed in this thesis, and, compared with the state-of-the-art AB method combined with the LSM method, it turns out that our ultimate algorithm shows a remarkable performance; speed-up factors of up to over sixty are quite possible.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Die Bewertung von höherdimensionalen amerikanischen Derivaten zählt nach wie vor zu den faszinierendsten und anspruchvollsten Thematiken auf dem Gebiet der numerischen Finanzmathematik. Die Schwierigkeit liegt insbesondere darin, dass mit wachsender Anzahl an unsicheren Faktoren auch die Komplexität der numerischen Methoden, die zur Lösung herangezogen werden, rapide ansteigt. Um dieses Problem zu bewältigen, haben wir uns zum Ziel gesetzt, effiziente Algorithmen zur Bewertung dieser komplexen Finanzprodukte zu entwickeln. Dabei werden zwei Herangehensweisen gewählt. Zum einen erweitern wir die bedeutende Klasse regressionsbasierter Monte-Carlo Methoden um unsere eigens konzipierte Robuste-Regression-Monte-Carlo (RRM) Methode. Kernidee dieses Ansatzes ist es, den Haltewert zu jedem Ausübungszeitpunkt mittels Robuster Regression anstelle der Methode der kleinsten Quadrate anzupassen. Dadurch erzielen wir eine präzisere Approximation des Haltewerts, da die Verwendung von Robuster Regression Ausreißer mit in Betracht zieht. Um eine effiziente Implementierung der RRM Methode gewährleisten zu können, empfehlen wir einen neuartigen Newton-Raphson-basierten Löser für die Robuste Regression, der über wünschenswerte numerische Eigenschaften verfügt. Zur Überprüfung der Konvergenz unseres RRM Schätzers kommen Techniken der Statistischen Lerntheorie zum Einsatz. Um die numerische Effizienz unserer Methode zu testen, bewerten wir Bermuda-Optionen auf bis zu 30 Assets. Es stellt sich heraus, dass unser RRM Ansatz ein bemerkenswertes Konvergenzverhalten zeigt. Der Vergleich unserer Methode mit der in der Praxis fest etablierten Least-Squares-Monte-Carlo (LSM) Methode von Longstaff und Schwartz (2001) liefert uns Speed-Up-Faktoren der Größe vier und höher. Des Weiteren beschäftigen wir uns in der vorliegenden Arbeit mit der Thematik der Varianzreduktion. Wir entwickeln eine Technik für den Driftwechsel, um Pfade in für die Varianz begünstigte Regionen umzulenken. Zusätzlich diskutieren wir die effiziente Implementierung dieser Technik. Zur Berechnung von oberen und unteren Schranken für den wahren Optionswert können regressionsbasierte Monte-Carlo Methoden mit der Andersen-Broadie (AB) Methode (2004) kombiniert werden. Durch die Erweiterung unseres Ansatzes auf eben diesen AB Ansatz lässt sich die Konvergenz um einen Faktor größer 20 beschleunigen. Zusätzlich analysieren wir die Auswirkungen von Quasi-Monte-Carlo Techniken bei der Berechnung oberer und unterer Schranken mittels der Kombination des AB und des LSM Ansatzes sowie unseres RRM Ansatzes. Der effizienten Implementierung messen wir wiederum oberste Priorität bei. Als Resultat erhalten wir eine bis zu 20-fache Beschleunigung der Berechnung der Schranken. Des Weiteren wenden wir einfache, allerdings äußerst effektive Techniken zur Konvergenzbeschleunigung an, insbesondere schlagen wir eine modifizierte Version des AB Ansatzes vor. Abschließend kombinieren wir eine Vielzahl der im Rahmen dieser Arbeit vorgeschlagenen Ansätze und vergleichen die Resultate mit denen der bekannten AB - in Kombination mit der LSM - Methode. Der finale Algorithmus zeigt eine außerordentliche Performance - Speed-Up-Faktoren der Größe 60 und höher sind durchaus erzielbar.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Jonen, Christiancjonen@math.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-44421
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    American options; Bermudan options; Monte Carlo simulation; multiple state variables; regression-based Monte Carlo methods; outliers; Newton-Raphson method; dual methods; variance reduction; quasi-Monte Carlo; importance sampling; stochastic approximationEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: 19 September 2011
    Date Type: Completion
    Date of oral exam: 11 November 2011
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 18 Nov 2011 10:13:47
    Referee
    NameAcademic Title
    Seydel, RüdigerProf. Dr.
    Tischendorf, CarenProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/4442

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    • Efficient Pricing of High-Dimensional American-Style Derivatives: A Robust Regression Monte Carlo Method. (deposited 18 Nov 2011 10:13:47)[Currently Displayed]

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