Universität zu Köln

The Space of Contact Forms Adapted to an Open Book

Dörner, Max Robert (2014) The Space of Contact Forms Adapted to an Open Book. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    We construct a complete set of two consecutive obstructions against homotopies of pointed families of adapted contact forms with parameters in the n-sphere. Using these obstructions, we show that there is a manifold with an open book decomposition together with both infinitely many adapted contact forms that all induce the same Liouville form on one page but such that the underlying contact manifolds are not contactomorphic, and infinitely many non-homotopic adapted contact forms that all induce the same Liouville form on one page and such that the underlying contact manifolds are contactomorphic. Following this, we use the neighbourhood theorem for the binding of an open book decomposition that we introduce in the construction of the obstructions to construct special generalised caps of contact manifolds. This leads us to a proof that, on closed manifolds, the Reeb vector field of every contact form defining a contact structure supported by a tower of open book decompositions has a contractible orbit provided the binding in the lowest level of this tower embeds into a subcritical Stein manifold as a hypersurface of restricted contact type or is supported by an open book decomposition with trivial monodromy. Moreover, we show that the strong Weinstein conjecture holds for contact manifolds supported by an open book whose binding is planar.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Wir konstruieren zwei Obstruktionen gegen Homotopien punktierter über die n-Sphäre parametrisierter Familien angepasster Kontaktformen, deren Verschwinden die Existenz einer solchen Homotopie garantiert. Mit ihrer Hilfe zeigen wir, dass es eine Zerlegung einer Mannigfaltigkeit als offenes Buch gibt, zu der sowohl unendlich viele Kontaktformen angepasst sind, deren zu Grunde liegende Kontaktstrukturen nicht kontaktomorph sind, als auch unendlich viele Kontaktformen, deren zu Grunde liegende Kontaktstrukturen zwar kontaktomorph sind, die aber nicht homotop sind als angepasste Kontaktformen. Danach benutzen wir den Umgebungssatz für die Bindung offener Bücher, welchen wir in der Konstruktion der Obstruktionen beweisen, um spezielle verallgemeinerte Kappen für Kontaktmannigfaltigkeiten zu konstruieren. Dies führt uns schließlich zu einem Beweis, dass auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten das Reeb-Vektorfeld zu jeder Kontaktform, die eine Kontaktstruktur definiert, welche von einem Turm offener Bücher getragen ist, eine kontrahierbare geschlossene Bahn besitzt, sofern die Bindung in der untersten Ebene des Turms als Hyperfläche vom eingeschränkten Kontakttyp in eine subkritische Stein-Mannigfaltigkeit einbettet oder von einem offenen Buch getragen wird, dessen Monodromie trivial ist. Zudem zeigen wir, dass die starke Weinstein-Vermutung erfüllt ist für jede Kontaktmannigfaltigkeit, die von einem offenen Buch getragen wird dessen Bindung planar ist.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Dörner, Max Robertmdoerner@math.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-55674
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    contact structure; open book; adapted contact form; Reeb vector field; closed orbitsEnglish
    Kontaktstruktur; offenes Buch; angepasste Kontaktform; Reeb-Vektorfeld; geschlossene BahnGerman
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: 17 February 2014
    Date Type: Publication
    Date of oral exam: 09 April 2014
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 21 May 2014 16:46:43
    Referee
    NameAcademic Title
    Geiges, HansjörgProf.
    Marinescu, GeorgeProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/5567

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