Universität zu Köln

Symmetric Functionals over Tensor Product Spaces in the Context of Quantum Information Theory

Ernst, Moritz Fabian (2014) Symmetric Functionals over Tensor Product Spaces in the Context of Quantum Information Theory. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    This thesis consists of three parts. We begin our investigation with a brief introduction into open quantum systems. Then we explain different measures of distinguishability of density operators, especially the Uhlmann Fidelity, which will be the basis for the model function we investigate in this work. We continue by explaining the time evolution of open quantum systems in more detail, and introducing the important notion of quantum channels as a concept in quantum information theory. This allows us to state a central problem of quantum information theory: the characterization of the quantum information capacity of a given quantum channel. The major challenge is the maximization of the coherent information, a function defined on a n-fold tensor product of a Hilbert space, which is non-additive and thus has to be considered in the limit as n→∞. To gain an insight into this unsolved problem, we study the channel fidelity of a quantum channel, which is a simpler function, also defined on n-fold tensor product spaces. It shares an essential feature with the coherent information in being non-additive. However, in contrast to the coherent information it is mathematically accessible. We establish the channel fidelity as a model for the coherent information and study its properties. In the second part, a short introduction to the representation theory of symmetric and unitary groups is followed by concrete instructions for Collins' and \'{S}niady's formula for the integration of functions of matrix elements of unitary groups with respect to the Haar measure. This exposition culminates in a simplification of the general formula that is optimal for investigating the channel fidelity. In the third part, we calculate channel fidelity moments for arbitrary n. In order to obtain more concrete results, we restrict ourselves to the study of Pauli channels. For these we discuss the transition of the average and variance from small n to the limit n→∞ and give an explicit formula for both in this limit. In particular, we find that for a large number n of Pauli channels, the channel fidelity distribution is peaked very strongly. Additionally, under certain restrictions, the simplified formula from part two also allows us to give concrete expressions for higher moments in the limit n→∞. We conclude by comparing our new results with results from a former work, where, in the search for maximizing states of the channel fidelity, we found states that maximize the channel fidelity of Pauli channels, at least locally. Because these local maxima have a much higher fidelity than the average of the very strongly peaked distribution, we infer that these states would not be found by a standard numerical maximization procedure. If the channel fidelity models the coherent information accurately in this regard, its maximization thus poses a very hard problem.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Die Arbeit besteht im Wesentlichen aus drei Teilen. Wir beginnen unsere Untersuchung mit einer knappen Einführung in offene Quantensysteme. Daraufhin erklären wir verschiedene Maße zur Unterscheidbarkeit von Dichteoperatoren, insbesondere die Uhlmann-Fidelity, welche als Grundlage für das in dieser Arbeit studierte Modell dienen wird. Detaillierter widmen wir uns dann der zeitlichen Entwicklung offener Systeme und führen einen wichtigen Begriff der Quanteninformationstheorie ein, den des Quanteninformationskanals. Dieser ermöglicht uns, ein zentrales Problem der Quanteninformationstheorie zu formulieren: Die Bestimmung der Quanteninformationskapazität eines Quanteninformationskanals. Als wesentliche Schwierigkeit dabei stellt sich das Maximieren der Coherent Information heraus, eine auf dem n-fachen Tensorprodukt eines Hilbertraumes definierte Funktion, die auf Grund ihrer Nichtadditivität im Limes n→∞ zu betrachten ist. Um einen Zugang zu diesem derzeit noch ungelösten Problem zu bekommen, studieren wir in dieser Arbeit eine ebenfalls auf dem n-fachen Tensorproduktraum definierte Funktion, die Channel-Fidelity eines Quantenkanals. Diese ist ebenfalls nicht additiv und hat somit eine wesentliche Eigenschaft mit der Coherent Information gemein. Sie ist allerdings im Gegensatz zu dieser mathematisch zugänglicher. Wir fassen die Channel-Fidelity als Modell der Coherent Information auf und studieren ihre Eigenschaften. Im zweiten Teil geben wir nach einer kurzen Einführung in die Darstellungstheorie symmetrischer und unitärer Gruppen eine konkrete Anleitung zu Collins' und Sniadys Formel zur Integration von Funktionen von Matrixelementen unitärer Gruppen über das Haar'sche Maß. Schließlich vereinfachen wir diese Formel auf ein für die Untersuchung der Channel-Fidelity optimales Niveau. Im dritten Teil berechnen wir allgemeine Momente der Channel-Fidelity-Verteilung für beliebige n. Um konkretere Ergebnisse zu erzielen beschränken wir uns auf Pauli-Kanäle. Für diese diskutieren wir für Mittelwert und Varianz den Übergang von kleinen n zum Limes n→∞ und können für beide eine explizite Formel für diesen angeben. Insbesondere stellt sich heraus, dass für eine große Anzahl n von Pauli-Kanälen die Verteilung sehr stark um den Mittelwert konzentriert ist. Weiterhin ermöglicht uns die vereinfachte Formel aus dem zweiten Teil unter gewissen Voraussetzungen die konkrete Berechnung höherer Momente. Schließlich vergleichen wir unsere neuen Resultate mit unseren Ergebnissen aus einer älteren Arbeit. In dieser hatten wir nach Maxima der Channel-Fidelity gesucht und haben für Pauli-Kanäle Zustände gefunden, die die Channel-Fidelity zumindest lokal maximieren. Da diese lokalen Maxima weit oberhalb des Mittelwertes der stark konzentrierten Verteilung liegen, folgern wir, dass diese mit einem gewöhnlichen Maximierungsverfahren kaum zu finden sind. Sollte die Channel-Fidelity in dieser Hinsicht ein gutes Modell für die Coherent Information darstellen, stellt deren Maximierung damit ein sehr schwieriges Problem dar.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Ernst, Moritz Fabianmoritz.f.ernst@posteo.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-58638
    Subjects: Physics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    Symmetric Functionals, Schur-Weyl-Duality, Representation Theory, Symmetric Groups, Quantum Information Theory, Completely Positive Maps, Channel FidelityEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Institut für Theoretische Physik
    Language: English
    Date: 05 December 2014
    Date Type: Publication
    Date of oral exam: 03 December 2014
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 05 Jan 2015 16:51:59
    Referee
    NameAcademic Title
    Klesse, RochusPD Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/5863

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