Universität zu Köln

Spherical representations of reductive Lie super algebras

Schmittner, Sebastian E. (2011) Spherical representations of reductive Lie super algebras. Masters thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    The idea of describing the eigenvalues of bosonic and fermionic fields in quantum field theory by commuting and anticommuting variables led to the development of super manifolds in the 1970s. Of particular interest to condensed matter physicists studying disordered systems are symmetric super spaces, i.e. quotients G/K of Lie super groups, because those arise for example as the target spaces of non-linear σ -models, which are the effective low energy theories for disordered fermionic systems with quadratic Hamiltonians in the thermodynamic limit. See [Zir98] for an elaborate discussion of an application. An interesting development is [LSZ07] which proves that an important step in the development of these physical models is indeed mathematically rigorous. A recent example using this new technique can be found in [SZ10]. Recently, active research has been focused on the development of harmonic analysis on symmetric super spaces ([AHZ08, All10, AHL11]). One goal here is to prove a super Fourier inversion formula and hence obtain a tool to solve linear partial differential equations involving G-invariant differential operators on G/K as appear in the afore mentioned examples from physics. To this end one needs to understand spherical functions, i.e. the K-biinvariant joint eigenfunctions of such differential operators and in particular their asymptotics. We expect that, as in the classical case, those functions can be characterised as matrix coeffcients of the spherical representations of G, i.e. those containing a K -invariant vector. The goal of this thesis is therefore to determine which finite dimensional irreducible G representations are spherical. For concreteness and to avoid problems stemming from non-compact real forms we restrict our attention to the Lie super algebra level and study the symmetric pair g = glq|r+s with sub Lie super algebra k = glq|r ⊕ gl0|s . Our main result, Theorem 3.60 on page 53, is a generalisation of a classical theorem due to Helgason, [Hel84], Chapter V, Theorem 4.1, which states that a representation is spherical if and only if the highest weight vector is M -invariant, where Q = M AN is a minimal parabolic subgroup of G. It turns out that this is exactly the same in the super case. For the proof we use methods developed by Schlichtkrul, [Sch84], to reduce the use of integration, which in the super world holds much more pitfalls. Similar to the ordinary case we can then classify the spherical representations in terms of their highest weights in Lemma 3.61 and the subsequent corollaries. At least for glq|r+1 with r > q this classiffcation is complete, but see Chapter 4 for some immediate as well as conjectured generalisations.

    Item Type: Thesis (Masters thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Diese Arbeit ist Teil eines Forschungsprojektes ([AHZ08, All10, AHL11]) zur Entwicklung harmonischer Analysis auf symmetrischen Superräumen. Motiviert durch Anwendungen in der theoretischen Physik ist das übergeordnete Ziel, das Verständnis der sphärischen Funktionen, d.h. K-biinvarianter Eigenfunktionen G-invarianter Differentialoperatoren auf Quotienten, G/K , von Lie-Supergruppen. Ein solches ist unerlässlich um die Fourier-Transformation auf solche Superräume zu verallgemeinern, um dadurch etwa physikalisch relevante partielle Differentialgleichungen lösen zu können. Wir vermuten, dass, analog zum klassischen Fall, eine Charakterisierung sphärischer Funktionen als Matrixkoefizienten sphärischer Darstellungen möglich ist. Deshalb sind symmetrische Paare, (g, k), reduktiver komplexer Lie-Superalgebren mit geeigneten reellen Formen, d.h. gewöhnlichen Lie-Gruppen G0, der Ausgangspunkt dieser Arbeit. Äquivalent zur Kategorie solcher Supergruppenpaare, (G0 , g), ist die Kategorie der cs-Lie-Supergruppen. Wir entwickeln im Folgenden beide Sichtweisen, da die erstere besser zum Verständnis der algebraischen Darstellungstheorie geeignet ist, die letztere hingegen sich besser für die Beschreibung von Integration über Supermannigfaltigkeiten eignet. Das wesentliche Resultat dieser Arbeit ist unser Beweis von Theorem 3.60, dass den klassischen Satz von Cartan-Helgason, [Hel84], Kapitel V, Theorem 4.1, verallgemeinert, nämlich die Charakterisierung der sphärischen Höchstgewichtsdarstellungen Vλ : Genau dann ist Vλ sphärisch (d.h. besitzt einen K-invarianten Vektor), wenn der Höchtgewichtsvektor M-invariant ist; anders gesagt, wenn das höchste Gewicht λ auf dem toroidalen Teil h ∩ k einer θ-invarianten Cartanunteralgebra h mit maximalem Vektorteil a = h ∩ p verschwindet. Des Weiteren ist der K-invariante Vektor in diesem Fall bis auf Vielfache eindeutig. Hierbei ist G = KAN die Iwasawa Zerlegung von G und Q = M AN eine entsprechende minimal parabolische Untergruppe von G. Unser Beweis verallgemeinert im Wesentlichen die Beweistechnik von [Sch84] auf den Superfall. Im Fall von g = glq|r+s mit k = glq|s ⊕ gl0|r , auf den wir uns ab Abschnitt 3.3 konzentrieren, folgt in der Tat aus der K- die M-Invarianz und wir können somit eine notwendige Bedingung für sphärische endlichdimensionale Darstellungen dieses Paares angeben. Für die Umgekehrte Richtung, d.h. den Beweis, dass die M-Invarianz des Höchstgewichtsvektors auch hinreichend für die existens eines K-invarianten Vektors ist, müssen wir uns auf den Fall s = 1 und entweder r > q oder Darstellungen von hinreichend hohem höchsten Gewicht einschränken, um ein konkretes Superintegral in Abschnitt 3.5.1 berechnen zu können. Als Korollar erhalten wir analog zum klassischen Fall eine, im eingeschränkten Fall vollständige, Charakterisierung der endlichdimensionalen sphärischen Höchstgewichtsdarstellungen über ihr höchstes Gewicht. Ein weiteres Ergebnis ist die Entwicklung von induzierten Darstellungen und der Beweis von Frobeniusreziprozität in der Kategorie unendlichdimensionaler glatter Darstellungen von Lie-Supergruppenpaaren in Abschnitt 3.4.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Schmittner, Sebastian E.sebastian.schmittner@uni-koeln.de
    Contributors:
    ContributionNameEmail
    Scientific advisorAlldridge, Alexanderalldridg@math.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-59481
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    super mathematics, spherical representations, Lie super algebras, Lie super groups, super group pairs, conical representations, highest weight representationsEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Institut für Mathematik und ihre Didaktik
    Language: English
    Date: October 2011
    Date Type: Publication
    Date of oral exam: October 2011
    Full Text Status: Public
    Related URLs:
    Date Deposited: 06 Feb 2015 09:35:19
    Referee
    NameAcademic Title
    Alldridge, AlexanderPD Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/5948

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