Universität zu Köln

Diese Arbeit beschäftigt sich mit zwei Problemen bei denen es um Knotenordnungen in planaren Graphen geht. Hierbei werden als erstes Ordnungen betrachtet, die als Grundlage für inkrementelle Zeichenalgorithmen dienen. Solche Algorithmen erweitern in der Regel eine vorhandene Zeichnung durch schrittweises Hinzufügen von Knoten in der durch die Ordnung gegebene Reihenfolge. Zu diesem Zweck kommen im Gebiet des Graphenzeichnens verschiedene Ordnungstypen zum Einsatz. Einigen dieser Ordnungen fehlen allerdings gewünschte oder sogar für einige Algorithmen notwendige Eigenschaften. Diese Eigenschaften werden genauer untersucht und dabei ein neuer Typ von Ordnung entwickelt, die sogenannte bitonische st-Ordnung, eine Ordnung, welche Eigenschaften kanonischer Ordnungen mit der Flexibilität herkömmlicher st-Ordnungen kombiniert. Die zusätzliche Eigenschaft bitonisch zu sein ermöglicht es, eine st-Ordnung wie eine kanonische Ordnung zu verwenden. Es wird gezeigt, dass für jeden zwei-zusammenhängenden planaren Graphen eine bitonische st-Ordnung in linearer Zeit berechnet werden kann. Im Gegensatz zu kanonischen Ordnungen, können st-Ordnungen naturgemäß auch für gerichtete Graphen verwendet werden. Diese Fähigkeit ist für das Zeichnen von aufwärtsplanaren Graphen von besonderem Interesse, da eine bitonische st-Ordnung unter Umständen es erlauben würde, vorhandene ungerichtete Zeichenverfahren für den gerichteten Fall anzupassen. Basierend auf dieser Beobachtung wird eine Teilmenge der planaren st-Graphen charakterisiert, für die eine solche Ordnung existiert. Zusätzlich wird ein Linearzeit-Algorithmus vorgestellt, der diese Graphen erkennt und eine bitonische st-Ordnung berechnet. Für die übrigen planaren st-Graphen wird gezeigt, dass mittels Unterteilung spezifischer Kanten eine Instanz augmentiert werden kann, so dass für diese eine bitonische st-Ordnung existiert. Dabei bestimmt ein Linearzeit-Algorithmus die kleinste Kantenmenge für den Unterteilungsschritt. Weiterhin wird gezeigt, dass für einen planaren st-Graphen G=(V,E) diese Menge nicht mehr als |V|−3 Kanten umfasst und jede Kante höchstens einmal unterteilt werden muss. Dieses Resultat lässt sich sofort übertragen auf die Anzahl der benötigten Knicke in aufwärtsplanaren Zeichnungen. Es wird ein Algorithmus angegeben, der eine aufwärtsplanare Zeichnung mit quadratischer Fläche, höchstens |V|−3 Knicken insgesamt und maximal einem Knick pro Kante in linearer Zeit erstellt. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich der Einbettung von planaren Graphen mit Maximalgrad drei und vier in Büchern mit zwei Seiten. Neben einem vereinfachten inkrementellen Linearzeit-Algorithmus für drei-zusammen-hängende 3-planare Graphen, wird auch ein Linearzeit-Algorithmus für den 4-planaren Fall vorgestellt.

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