Universität zu Köln

Von frühen Arbeiten aus den 1930er Jahren an bis heute besteht ein wachsendes Interesse an der Theorie der asymptotischen Verteilungen der erwarteten Nullstellen von zufälligen Polynomen, wenn ihr Grad unendlich wächst. Eine natürliche geometrische Verallgemeinerung von zufälligen Polynomen sind zufällige Schnitte holomorpher Geradenbündel über einer komplexen Mannigfaltigkeit. Im Jahr 1999 bewiesen Shiffman und Zelditch, dass auf einer kompakten Kähler- Mannigfaltigkeit die Nullstellen von Schnitten hoher Tensorpotenzen eines holomorphen Geradenbündels asymptotisch gleichverteilt bezüglich der normalisierten Krümmung des Bündels sind. Ihr Ergebnis hat zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Physik und wurde seitdem in viele verschiedene Richtungen verallgemeinert. In dieser Arbeit verallgemeinern wir ihr Ergebnis auf ein semipositiv gekrümmtes holomorphes Geradenbündel über einer punktierten Riemannschen Fläche. Dafür untersuchen wir Instrumente, deren Betrachtung sich als geeigneter Rahmen für die Untersuchung statistischer Eigenschaften von Nullstellenmengen auf komplexen Mannigfaltigkeiten erwiesen haben. Zunächst zeigen wir die Existenz einer Spektral-Lücke für den zum Bündel gehörigen Kodaira-Laplace-Operator. Dieses Ergebnis wenden wir zusammen mit der Technik der analytischen Lokalisierung von Ma und Marinescu an, um eine punktweise globale asymptotische Entwicklung des zugehörigen Bergman-Kerns zu folgern. Zusätzlich zeigen wir lokal gleichmäßige Schranken für den Bergman-Kern und seine Ableitungen. Diese benutzen wir, um die lokal gleichmäßige Konvergenz der durch die zugehörige Kodaira-Abbildung induzierten Fubini-Study-Metriken und ihrer Potentiale zu der globalen Krümmung, beziehungsweise ihrem Potential nachzuweisen. Abschließend zeigen wir, dass die erwarteten Nullstellen der holomorphen Schnitte bezüglich der normalisierten Krümmung der Geradenbündels gleichverteilt sind. Außerdem wenden wir die Theorie der meromorphen Transformationen von Dinh und Sibony an, um die Konvergenzgeschwindigkeit unseres Gleichverteilungsergebnisses abzuschätzen.

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