Universität zu Köln

Some results in supergeometry: Harmonic maps from super Riemann surfaces and Automorphism supergroups of supermanifolds

Ostermayr, Dominik (2017) Some results in supergeometry: Harmonic maps from super Riemann surfaces and Automorphism supergroups of supermanifolds. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    This thesis consists of two independent and self-contained parts. The first part is concerned with harmonic maps form super Riemann surfaces in complex projective spaces and projective spaces associated with the super skew-field $\mathbb{D}.$ In both cases, we develop the theory of Gau\ss\ transforms and study the notion of isotropy, in particular its relation to holomorphic differentials on the super Riemann surface. Moreover, we give a definition of finite type harmonic maps for a special class of maps into $\mathbb{C} P^{n|n+1}$ and thus obtain a classification for certain harmonic super tori. Furthermore, we investigate the equations satisfied by the underlying objects and give an example of a harmonic super torus in $\mathbb{D} P^2$ whose underlying map is not harmonic. In the second part, we study a classical theorem stating that the group of automorphisms of a manifold $M$ preserving a $G$-structure of finite type is a Lie group in the context of supermanifolds. We generalize this statement to the category of $cs$ manifolds and give some examples, some of which being generalizations of classical notions, others being particular to the super case. Notably, we have to introduce a new class of supermanifolds which we call mixed supermanifolds.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei unabhängigen und eigenständigen Teilen. Gegenstand des ersten Teils sind harmonische Abbildungen von super-Riemannschen Flächen nach komplex-projektiven Räumen und projektiven Räumen bezüglich des Superschiefkörpers $\mathbb{D}.$ In beiden Fällen wird die Theorie der Gauss -Transformierten entwickelt und der Begriff der Isotropie studiert, insbesondere mit Hinblick auf den Zusammenhang zu holomorphen Differentialen auf der super-Riemannschen Fläche. \"Uberdies geben wir eine Definition für harmonische Abbildungen endlichen Typs für eine spezielle Klasse von Abbildungen nach $\mathbb{C} P^{n|n+1}$ und erhalten so eine Klassifikation bestimmter harmonischer super-Tori. Ferner untersuchen wir die Gleichungen, die von den unterliegenden Objekten erfüllt werden und geben ein Beispiel eines harmonischen super-Torus in $\mathbb{D} P^2$ dessen unterliegende Abbildung nicht harmonisch ist. Im zweiten Teil studieren wir einen klassischen Satz, der besagt, dass die Gruppe der Automorphismen einer Mannigfaltigkeit, die eine $G$-Struktur endlichen Typs erhalten, eine Lie-Gruppe bildet, im Kontext von Supermannigfaltigkeiten. Wir verallgemeinern dieses Theorem auf die Kategorie der $cs$ Mannigfaltigkeiten und illustrieren es anhand einiger, sowohl klassische Objekte verallgemeinernder als auch genuin supergeometrischer, Beispiele. Insbesondere ist es nötig eine neue Klasse von Supermannigfaltigkeiten einzuführen - gemischte Supermannigfaltigkeiten.UNSPECIFIED
    Creators:
    CreatorsEmail
    Ostermayr, Dominikdominik.ostermayr@gmail.com
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-75033
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    harmonic maps, super Riemann surfaces, automorphism supergroups, $G$-structures of finite typeUNSPECIFIED
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Institut für Mathematik und ihre Didaktik
    Language: English
    Date: 2017
    Date Type: Publication
    Date of oral exam: 20 January 2017
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 10 Apr 2017 15:50:50
    Referee
    NameAcademic Title
    Alldridge, AlexanderPD Dr.
    Marinescu, GeorgeProf. Dr.
    Wurzbacher, TilmannProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/7503

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