Universität zu Köln

Kollakowski, Nadia (2017). Der Anharmonische Quartische Oszillator: Wohldefiniertheit, spektrale Eigenschaften und Kontrollierbarkeitsaspekte. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In dieser Arbeit betrachten wir ein bilineares Schrödinger-Kontrollproblem, welches die Dynamik eines quantenmechanischen Teilchens in einem anharmonischen Potential modelliert, das durch ein von einer Laserkonstellation induziertes, zeitabhängiges elektrisches Feld beeinflusst wird. Wir zeigen für quadratintegrierbare Kontrollfunktionen die Existenz einer milden Lösung dieses Systems im Definitionsbereich des Hamilton-Operators und stellen fest, dass es sich, im Falle einer stetigen Kontrollfunktion, bei dieser milden Lösung sogar um eine klassische Lösung handelt. Wir untersuchen die Spektraleigenschaften des Systems in Abwesenheit des zeitabhängigen elektrischen Feldes und leiten, neben asymptotischen Formeln für die Eigenwerte sowie für die spektralen Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Eigenwerten, diverse Abschätzungen der Eigenfunktionen her, mittels derer wir zu der Erkenntnis gelangen, dass im Falle einer Positivität des inneren Hamilton-Operators sämtliche Eigenfunktionen Elemente des Gelfand-Shilov-Raumes $\mathcal{S}_{1/3}^{2/3}$ sind, welchen wir als eine Vereinigung abstrakter Gevrey-Räume für den inneren Hamilton-Operator charakterisieren. Unter Verwendung der nachgewiesenen Spektraleigenschaften, leiten wir im Falle eines nicht-symmetrischen anharmonischen Potentials die exakte Kontrollierbarkeit des um die Grundzustandstrajektorie linearisierten Systems in einem Teilraum von $\mathcal{S}_{1/3}^{2/3}$ her. Im Falle eines symmetrischen Potentials erkennen wir, dass die resultierende Symmetrie der Eigenfunktionen einer Kontrollierbarkeit des linearisierten Systems im Wege steht. Schließlich zeigen wir unter der Annahme einer Invarianzeigenschaft für die Lösung des bilinearen Systems in den Funktionenräumen, in denen das linearisierte System kontrollierbar ist, mittels des Linearisierungsprinzips, die lokale exakte Kontrollierbarkeit des bilinearen Systems in der Nähe des Grundzustandes.