Universität zu Köln

In dieser Arbeit untersuchen wir torische Degenerierungen projektiver Variet¨aten. Wir interessieren uns f¨ur Konstruktionen solcher aus der Darstellungstheorie, der tropischen Geometrie und der Theorie von Cluster Algebren. Ziel ist es, durch analysieren bestimmter Spezialf¨alle die Zusammenh¨ange der verschiedenen Theorien besser zu verstehen. Im Fokus sind deshalb Variet¨aten, auf die eine Vielzahl von Methoden angewandt werden k¨onnen: Grassmannsche, Fahnenvariet¨aten und Schubertvariet¨aten. Wir vergleichen als ersten Schritt die torischen Variet¨aten, die als Degenrierungen erhalten werden. Vor allem interessiert uns ob isomorphe torische Variet¨aten von verschiedenen Kontruktionen erhalten werden. Dies ist h¨aufig der Fall, z.B. f¨ur die Grassmannsche von Geraden im C n k¨onnen alle torischen Variet¨aten, die man mit Methoden der tropischen Geometrie erh¨alt (bis auf Isomorphie) auch mit Hilfe der Darstellungstheorie konstruiert werden. Ein erstes allgemeines Resultat (f¨ur projektive Variet¨aten) l¨asst auf weitere tiefere Zusammenh¨ange hoffen: torische Degenerierungen, die mit Hilfe einer Bewertung und der Theorie von Newton-Okounkov K¨orpern erzeugt werden lassen sich (unter gewissen Bedingungen) mit Hilfe der tropischen Geometrie realisieren.

German