Numerische Verfahren zur Lösung des Transmissions-Problems in speziellen Billards und ihre Anwendung zur Konstruktion von Quantenkaskaden-Lasern

Heider, Pascal (2005). Numerische Verfahren zur Lösung des Transmissions-Problems in speziellen Billards und ihre Anwendung zur Konstruktion von Quantenkaskaden-Lasern. PhD thesis, Universität zu Köln. Open Access

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Abstract

Die physikalische Modellierung von Halbleiter-Lasern führt über die Maxwell-Gleichungen auf ein 2-dimensionales Transmissions-Problem, bei dem eine Lösung der Helmholtz-Gleichung im Inneren eines beschränkten Gebiets mit Wellenzahl n k und im Äußeren eine Lösung mit Wellenzahl k gesucht ist, so daß beide Lösungen über den Rand stetig differenzierbar sind. In dieser Arbeit wird ein Prädiktor-Korrektor-Algorithmus vorgestellt, der es im Unterschied zu früheren Verfahren gestattet, alle Eigenwerte in einem vorgegebenen Bereich direkt, sukzessiv und effizient zu berechnen, so daß die Entwicklung von Suchstrategien wie bei früheren Algorithmen obsolet wird. Das Verfahren setzt auf einer Randintegraldiskretisierung der jeweiligen Helmholtz-Operatoren auf, deren Diskretisierungsfehler bei der Berechnung der Eigenfunktionen bzw. Eigenwerten exponentiell kleiner wird. Wenn das Ausgangsgebiet durch eine Billard-Kurve berandet wird, die durch eine Familie von p-periodischen Orbits beschrieben ist, können im quasi-klassischen Grenzübergang die Lösungen des Transmissions-Problems mittels Trajektorien dieses Billards approximiert werden. Die Existenz solcher Billards wurde von Y. Baryshnikov und V. Zharnitsky bewiesen. In der vorliegenden Arbeit werden zwei numerische Konstruktionsverfahren für solche Billards angegeben. Insbesondere wird gezeigt, daß sie Lösungen des Transmissions-Problems besitzen, welche im Inneren des Billards lokalisiert sind.

Item Type:

Thesis (PhD thesis)

Translated title:

Title	Language
Numerical methods for the solution of the transmission-problem in special billiards and their application for the construction of quantum-cascade lasers	English

Translated abstract:

Abstract

Language

The modelling of semi-conductor lasers via Maxwell's equations results in a 2-dimensional transmission-problem, for which a solution of Helmholtz's equation with wavenumber n k in the interior of a bounded domain and a solution with wavenumber k in the exterior has to be found, such that both solutions are continously differentiable across the boundary. This thesis presents a predictor-corrector algorithm, which allows a direct, successive and efficient calculation of all eigenvalues in a prescribed range, hence making the development of search strategies obsolete in contrast to former algorithms. The method is based on a boundary integral discretisation of the Helmholtz-operators, whose discretisation error of the eigenfunctions and eigenvalues decreases exponentially. In the case of a domain bounded by a billiard-curve, which is described by a family of p-periodic orbits, the solutions of the transmission-problem in the quasi-classical limit can be approximated by classical trajectories in the billiard. The existence of such billiards was shown by Y. Baryshnikov and V. Zharnitsky. In this thesis two numerical methods for the explicit construction of such billiards are developed. Moreover, it will be shown that these billiards have solutions of the transmission-problem, which are localized in the interior of the billiard.

English

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