Universität zu Köln

Heider, Pascal (2005). Numerische Verfahren zur Lösung des Transmissions-Problems in speziellen Billards und ihre Anwendung zur Konstruktion von Quantenkaskaden-Lasern. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

Die physikalische Modellierung von Halbleiter-Lasern führt über die Maxwell-Gleichungen auf ein 2-dimensionales Transmissions-Problem, bei dem eine Lösung der Helmholtz-Gleichung im Inneren eines beschränkten Gebiets mit Wellenzahl n k und im Äußeren eine Lösung mit Wellenzahl k gesucht ist, so daß beide Lösungen über den Rand stetig differenzierbar sind. In dieser Arbeit wird ein Prädiktor-Korrektor-Algorithmus vorgestellt, der es im Unterschied zu früheren Verfahren gestattet, alle Eigenwerte in einem vorgegebenen Bereich direkt, sukzessiv und effizient zu berechnen, so daß die Entwicklung von Suchstrategien wie bei früheren Algorithmen obsolet wird. Das Verfahren setzt auf einer Randintegraldiskretisierung der jeweiligen Helmholtz-Operatoren auf, deren Diskretisierungsfehler bei der Berechnung der Eigenfunktionen bzw. Eigenwerten exponentiell kleiner wird. Wenn das Ausgangsgebiet durch eine Billard-Kurve berandet wird, die durch eine Familie von p-periodischen Orbits beschrieben ist, können im quasi-klassischen Grenzübergang die Lösungen des Transmissions-Problems mittels Trajektorien dieses Billards approximiert werden. Die Existenz solcher Billards wurde von Y. Baryshnikov und V. Zharnitsky bewiesen. In der vorliegenden Arbeit werden zwei numerische Konstruktionsverfahren für solche Billards angegeben. Insbesondere wird gezeigt, daß sie Lösungen des Transmissions-Problems besitzen, welche im Inneren des Billards lokalisiert sind.