Lower bounds for Auslander�s representation dimension - Kölner UniversitätsPublikationsServer

Oppermann, Steffen (2007). Lower bounds for Auslander�s representation dimension. PhD thesis, Universität zu Köln. Open Access

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Abstract

The notion of representation dimension of a finite dimensional algebra has been introduced by Auslander. He has shown that an algebra is of finite representation type if and only if its representation dimension is at most two. He has expected that the representation dimension of a representation infinite algebra should measure how far this algebra is from being representation finite. In many cases, and, thanks to Iyama, also in general, upper bounds for the representation dimension are known. However there are non-trivial lower bounds only for two (similarly constructed) series of algebras. In this thesis new lower bounds for Auslander's representation dimension are constructed, and more general methods are developed. First we consider group algebras of elementary abelian groups. We show that their representation dimension is greater than the rank of the group. This leads to a proof of a conjecture of Benson concerning the Loewy length of blocks of group algebras. Then a notion of dimension of a module category is introduced. This notion enables us to find better lower bounds for the representation dimension. In particular it allows us for the first time to determine the value of the representation dimension of non-self-injective algebras of representation dimension greater than three. Finally we give a general criterion for finding lower bounds for Auslander's representation dimension: Suppose there is a family of modules, such that sufficiently many members of the family have certain d-extensions. Then the representation dimension of the algebra is at least d+2. We illustrate how this criterion is applied on some interesting families of algebras. It turns out that the lower bound is often the precise value of the representation dimension.

Item Type:

Thesis (PhD thesis)

Translated title:

Title	Language
Untere Schranken für Auslanders Darstellungsdimension	German

Translated abstract:

Abstract

Language

Der Begriff der Darstellungdimension einer endlichdimensionalen Algebra wurde von Auslander eingeführt. Er zeigte, dass eine Algebra genau dann endlichen Darstellungstyp hat, wenn ihre Darstellungsdimension höchstens zwei ist, und erwartete, dass die Darstellungdimension darstellungsunendlicher Algebren ein Maß dafür sein sollte, wie weit die betreffende Algebra davon entfernt ist, darstellungsendlich zu sein. Währen in vielen Fällen, und dank Iyama auch im Allgemeinen, obere Schranken für die Darstellungsdimension bekannt sind, gibt es nicht-triviale untere Schranken bisher nur für zwei (ähnlich konstruierte) Serien von Algebren. In dieser Arbeit werden neue untere Schranken für Auslanders Darstellungsdimension konstruiert und allgemeinere Methoden hierfür entwickelt. Zunächst betrachten wir die Gruppenalgebren elementarabelscher Gruppen und zeigen, dass ihre Darstellungsdimension größer als der Rang der Gruppe ist. Daraus ergibt sich ein Beweis einer Vermutung von Benson bezüglich der Loewylänge von Blöcken von Gruppenalgebren. Dann wird ein Dimensionsbegriff für Modulkategorien eingeführt. Dieser ermöglicht es, bessere untere Schranken für die Darstellungsdimension zu finden, und insbesondere erstmals für nicht selbstinjektive Algebren mit Darstellungsdimension größer als drei den genauen Wert der Darstellungsdimension zu bestimmen. Schließlich geben wir ein allgemeines Kriterium, um untere Schranken für Auslanders Darstellungsdimension zu finden: Wenn es eine Familie von Moduln gibt, so dass genügend viele Mitglieder dieser Familie bestimmte d-Erweiterungen haben, dann ist die Darstellungsdimension mindestens d+2. Es wird an einigen interessanten Familien von Algebren gezeigt, wie das Kriterium angewendet wird, und dass es häufig den richtigen Wert für die Darstellungsdimension liefert.

German

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