Universität zu Köln

Knepper, Jascha ORCID: 0000-0002-8769-2235 (2022). Adaptive Coarse Spaces for the Overlapping Schwarz Method and Multiscale Elliptic Problems. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In science and engineering, many problems exhibit multiscale properties, making the development of efficient algorithms to compute accurate solutions often challenging. We consider finite element discretizations of linear, second-order, elliptic partial differential equations with highly heterogeneous coefficient functions. The condition numbers of the associated linear systems of equations strongly depend on the mesh resolution and the heterogeneity of the coefficient function. To obtain scalable solvers, we employ the conjugate gradient method and additive overlapping Schwarz domain decomposition preconditioners with suitable coarse spaces. To ensure that the convergence is independent of large variations in the coefficient function, we construct adaptive coarse spaces: The domain decomposition interface is partitioned into small components, on which we solve local generalized eigenvalue problems to incorporate adaptivity into the coarse spaces. A tolerance is specified a priori to select the most effective eigenfunctions, which are subsequently extended energy-minimally to the subdomains to construct coarse functions. To obtain small coarse problems, we present several techniques that affect the generalized eigenvalue problems: the incorporation of an energy-minimizing extension, the construction of specific interface partitions, and the enforcement of additional Dirichlet boundary conditions in the energy-minimizing extensions. Additionally, we present approaches to reduce the computational cost and facilitate a parallel implementation. For all adaptive coarse spaces, we prove condition number bounds that only depend on a user-prescribed tolerance and on a constant that is independent of the typical mesh parameters and of the coefficient function. We provide supporting numerical results for diffusion and linear elasticity problems.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Adaptive Grobgitterräume für die überlappende Schwarz-Methode und elliptische Multiskalenprobleme German
Translated abstract:	Abstract Language In der Wissenschaft und den Ingenieurwissenschaften gibt es vielfältige Multiskalenprobleme, was die Entwicklung effizienter Algorithmen zur Bestimmung präziser Lösungen erschwert. Wir untersuchen in dieser Arbeit Finite-Elemente-Diskretisierungen von linearen, elliptischen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit stark heterogenen Koeffizientenfunktionen. Die Konditionszahlen der zugehörigen linearen Gleichungssysteme hängen stark von der Gitterauflösung und der Heterogenität der Koeffizientenfunktion ab. Um skalierbare Löser zu erhalten, verwenden wir das konjugierte Gradientenverfahren und zur Vorkonditionierung additive überlappende Schwarz-Gebietszerlegungsverfahren mit geeigneten Grobgitterräumen. Um sicherzustellen, dass die Konvergenz unabhängig von großen Schwankungen der Koeffizientenfunktion ist, konstruieren wir adaptive Grobgitterräume: Das Interface der Gebietszerlegung wird in kleine Komponenten partitioniert, auf welchen wir lokale verallgemeinerte Eigenwertprobleme lösen, um Adaptivität in den Grobgitterraum zu integrieren. Mittels einer a priori festgelegten Toleranz werden die effektivsten Eigenfunktionen ausgewählt, welche anschließend zur Konstruktion von Grobgitterfunktionen energieminimierend in die Teilgebiete fortgesetzt werden. Um ein kleines Grobgitterproblem zu erhalten, präsentieren wir verschiedene Techniken, welche die verallgemeinerten Eigenwertprobleme beeinflussen: die Integration einer energieminimierenden Fortsetzung, die Konstruktion spezieller Interfacepartitionierungen und das Erzwingen zusätzlicher Dirichletrandbedingungen in den energieminimierenden Fortsetzungen. Zusätzlich präsentieren wir Ansätze zur Reduktion des Rechenaufwandes und zur Erleichterung einer parallelen Implementierung. Wir beweisen für die Konditionszahlen aller adaptiven Grobgitterräume Schranken, welche nur von einer benutzerdefinierten Toleranz sowie einer Konstanten abhängen, welche unabhängig von den typischen Gitterparametern und der Koeffizientenfunktion ist. Zudem zeigen wir unterstützende numerische Ergebnisse für Probleme der Diffusion und linearen Elastizität. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Knepper, Jascha jascha.knepper@uni-koeln.de orcid.org/0000-0002-8769-2235 UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-620024
Date:	31 October 2022
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Natural sciences and mathematics Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language domain decomposition methods; overlapping Schwarz; additive Schwarz; two-level; adaptive coarse spaces; spectral coarse spaces; robust coarse spaces; coarse spaces; multiscale; heterogeneous coefficients; GDSW; generalized Dryja-Smith-Widlund; AGDSW; adaptive GDSW; RAGDSW; reduced-dimension adaptive GDSW; OS-ACMS; ACMS; approximate component mode synthesis; reduced dimension; finite elements; partial differential equations; second-order; elliptic; diffusion; linear elasticity English Gebietszerlegungsverfahren; überlappende Schwarz-Methode; additive Schwarz-Methode; zwei Level; adaptive Grobgitterräume; spektrale Grobgitterräume; robuste Grobgitterräume; Grobgitterräume; multiskalen; heterogene Koeffizienten; GDSW; verallgemeinerte Dryja-Smith-Widlund-Methode; AGDSW; adaptives GDSW; RAGDSW; dimensionsreduziertes adaptives GDSW; OS-ACMS; ACMS; approximative Komponenten-Moden-Synthese; reduzierte Dimension; Finite Elemente; partielle Differentialgleichungen; zweiter Ordnung; elliptisch; Diffusion; lineare Elastizität German
Date of oral exam:	23 March 2022
Referee:	Name Academic Title Klawonn, Axel Prof. Dr. Sarkis, Marcus Prof. PhD Dohrmann, Clark R. PhD
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/62002