Universität zu Köln

Radtke, Patrick (2015). Adaptive Coarse Spaces for FETI-DP and BDDC Methods. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

Iterative substructuring methods are well suited for the parallel iterative solution of elliptic partial differential equations. These methods are based on subdividing the computational domain into smaller nonoverlapping subdomains and solving smaller problems on these subdomains. The solutions are then joined to a global solution in an iterative process. In case of a scalar diffusion equation or the equations of linear elasticity with a diffusion coefficient or Young modulus, respectively, constant on each subdomain, the numerical scalability of iterative substructuring methods can be proven. However, the convergence rate deteriorates significantly if the coefficient in the underlying partial differential equation (PDE) has a high contrast across and along the interface of the substructures. Even sophisticated scalings often do not lead to a good convergence rate. One possibility to enhance the convergence rate is to choose appropriate primal constraints. In the present work three different adaptive approaches to compute suitable primal constraints are discussed. First, we discuss an adaptive approach introduced by Dohrmann and Pechstein that draws on the operator P_D which is an important ingredient in the analysis of iterative substructuring methods like the dual-primal Finite Element Tearing and Interconnecting (FETI-DP) method and the closely related Balancing Domain Decomposition by Constraints (BDDC) method. We will also discuss variations of the method by Dohrmann and Pechstein introduced by Klawonn, Radtke, and Rheinbach. Secondly, we describe an adaptive method introduced by Mandel and Sousedík which is also based on the P_D-operator. Recently, a proof for the condition number bound in this method was provided by Klawonn, Radtke, and Rheinbach. Thirdly, we discuss an adaptive approach introduced by Klawonn, Radtke, and Rheinbach that enforces a Poincaré- or Korn-like inequality and an extension theorem. In all approaches generalized eigenvalue problems are used to compute a coarse space that leads to an upper bound of the condition number which is independent of the jumps in the coefficient and depend on an a priori prescribed tolerance. Proofs and numerical tests for all approaches are given in two dimensions. Finally, all approaches are compared.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Nichtüberlappende Gebietszerlegungsverfahren sind geeignete Methoden zur parallelen iterativen Lösung elliptischer partieller Differentialgleichungen. In diesen Verfahren wird das Gebiet in kleinere Teilgebiete zerlegt und es werden kleinere Probleme auf den Teilgebieten gelöst. Anschließend werden in einem iterativen Prozeß die Lösungen zu einer globalen Lösung zusammengefügt. Im Fall von skalaren Diffusionsproblemen oder linearer Elastizität mit einem Koeffizienten oder einem Elastizitätsmodul der konstant auf jedem Teilgebiet ist, kann die numerische Skalierbarkeit dieser Verfahren bewiesen werden. Jedoch verschlechtert sich die Konvergenzrate beträchtlich, falls der Koeffizient der zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichung (PDGL) sowohl entlang als auch über Teilgebietsgrenzen hinweg einen hohen Kontrast aufweist. Auch anspruchsvolle Skalierungen führen häufig nicht zu einer guten Konvergenz. Eine Möglichkeit die Konvergenz zu verbessern besteht darin, passende primale Bedingungen zu wählen. In der vorliegenden Arbeit werden drei verschiedene Herangehensweisen vorgestellt um adäquate Bedingungen zu berechnen. Zuerst wird ein adaptiver Ansatz von Dohrmann und Pechstein dargestellt. Dieser Ansatz nutzt den P_D-Operator, welcher eine wichtige Rolle in der Analysis von iterativen Substrukturierungsmethoden wie der dual-primal Finite Element Tearing and Interconnecting (FETI-DP) Methode und der eng verwandten Balancing Domain Decomposition by Constraints (BDDC) Methode spielt. Außerdem werden Varianten des Algorithmus von Dohrmann und Pechstein diskutiert, welche von Klawonn, Radtke und Rheinbach eingeführt wurden. Zweitens wird ein adaptiver Algorithmus von Mandel und Sousedík vorgestellt, der auch am P_D-Operator ansetzt. Kürzlich wurde eine Konditionszahlabschätzung für diesen Algorithmus in zwei Raumdimensionen von Klawonn, Radtke und Rheinbach bewiesen. Drittens wird ein adaptiver Algorithmus bewiesen, welcher von Klawonn, Radtke und Rheinbach eingeführt wurde und Bedingungen berechnet, die eine Poincaré ähnliche Ungleichung und einen Fortsetzungssatz ermöglicht. In allen Ansätzen werden verallgemeinerte Eigenwertprobleme verwendet um einen Grobgitterraum auszurechnen, der zu einer oberen Schranke der Konditionszahl führt, welche unabhängig von Sprüngen im Koeffizienten ist und von einer a priori vorgegebenen Toleranz abhängt. Es werden Beweise aller Verfahren und numerische Tests für zwei Raumdimensionen dargelegt. Abschließend werden alle Verfahren verglichen. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Radtke, Patrick pradtke@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-64268
Date:	2015
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language FETI-DP UNSPECIFIED BDDC UNSPECIFIED Adaptive Coarse Spaces UNSPECIFIED
Date of oral exam:	23 October 2015
Referee:	Name Academic Title Klawonn, Axel Prof. Dr. Rheinbach, Oliver Prof. Dr. Widlund, Olof B. Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/6426