Universität zu Köln

Galinat, Lennart (2015). Algebro-Geometric Aspects of the Classical Yang-Baxter Equation. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In this thesis we consider algebro-geometric aspects of the Classical Yang-Baxter Equation and the Generalised Classical Yang-Baxter Equation. In chapter one we present a method to construct solutions of the Generalised Classical Yang-Baxter Equation starting with certain sheaves of Lie algebras on algebraic curves. Furthermore we discuss a criterion to check unitarity of such solutions. In chapter two we consider the special class of solutions coming from sheaves of traceless endomorphisms of simple vector bundles on the nodal cubic curve. These solutions are quasi-trigonometric and we describe how they fit into the classification scheme of such solutions. Moreover, we describe a concrete formula for these solutions. In the third and final chapter we show that any unitary, rational solution of the Classical Yang-Baxter Equation can be obtained via the method of chapter one applied to a sheaf of Lie algebras on the cuspidal cubic curve.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Algebraisch-Geometrische Aspekte der Klassischen Yang-Baxter Gleichung German
Translated abstract:	Abstract Language In dieser Arbeit untersuchen wir die Klassische Yang-Baxter Gleichung und die Verallgemeinerte Klassische Yang-Baxter Gleichung von einem algebrogeometrischen Standpunkt aus. Im ersten Kapitel stellen wir ein Verfahren vor, um ausgehend von bestimmten Garben von Lie Algebren auf algebraischen Kurven eine Lösung der Verallgemeinerten Klassischen Yang-Baxter Gleichung zu konstruieren. Weiterhin geben wir ein Kriterium an, um die Unitarität dieser Lösungen zu überprüfen. Im zweiten Kapitel behandeln wir eine spezielle Klasse von Lösungen, nämlich diejenigen, die aus Garben von Endomorphismen mit Spur null von einfachen Vektorbündeln auf der nodalen kubischen Kurve entstehen. Diese Lösungen sind quasi-trigonometrisch und wir erläutern, wie sie in das Klassifikationsschema solcher Lösungen passen. Desweiteren geben wir eine konkrete Formel für diese Lösungen an. Im abschließenden, dritten Kapitel zeigen wir, dass man alle unitären, rationalen Lösungen der Klassischen Yang-Baxter Gleichung durch Anwendung des Verfahrens aus Kapitel eins auf Garben von Lie-Algebren auf der kuspidalen kubischen Kurve erhalten kann. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Galinat, Lennart lgalinat@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-68096
Date:	28 September 2015
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language classical Yang-Baxter equation; algebraic curves; sheaves of Lie algebras English
Date of oral exam:	24 November 2015
Referee:	Name Academic Title Burban, Igor Prof. Dr. Marinescu, George Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/6809