Universität zu Köln

Ostermayr, Dominik (2017). Some results in supergeometry: Harmonic maps from super Riemann surfaces and Automorphism supergroups of supermanifolds. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

This thesis consists of two independent and self-contained parts. The first part is concerned with harmonic maps form super Riemann surfaces in complex projective spaces and projective spaces associated with the super skew-field $\mathbb{D}.$ In both cases, we develop the theory of Gau\ss\ transforms and study the notion of isotropy, in particular its relation to holomorphic differentials on the super Riemann surface. Moreover, we give a definition of finite type harmonic maps for a special class of maps into $\mathbb{C} P^{n|n+1}$ and thus obtain a classification for certain harmonic super tori. Furthermore, we investigate the equations satisfied by the underlying objects and give an example of a harmonic super torus in $\mathbb{D} P^2$ whose underlying map is not harmonic. In the second part, we study a classical theorem stating that the group of automorphisms of a manifold $M$ preserving a $G$-structure of finite type is a Lie group in the context of supermanifolds. We generalize this statement to the category of $cs$ manifolds and give some examples, some of which being generalizations of classical notions, others being particular to the super case. Notably, we have to introduce a new class of supermanifolds which we call mixed supermanifolds.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei unabhängigen und eigenständigen Teilen. Gegenstand des ersten Teils sind harmonische Abbildungen von super-Riemannschen Flächen nach komplex-projektiven Räumen und projektiven Räumen bezüglich des Superschiefkörpers $\mathbb{D}.$ In beiden Fällen wird die Theorie der Gauss -Transformierten entwickelt und der Begriff der Isotropie studiert, insbesondere mit Hinblick auf den Zusammenhang zu holomorphen Differentialen auf der super-Riemannschen Fläche. \"Uberdies geben wir eine Definition für harmonische Abbildungen endlichen Typs für eine spezielle Klasse von Abbildungen nach $\mathbb{C} P^{n|n+1}$ und erhalten so eine Klassifikation bestimmter harmonischer super-Tori. Ferner untersuchen wir die Gleichungen, die von den unterliegenden Objekten erfüllt werden und geben ein Beispiel eines harmonischen super-Torus in $\mathbb{D} P^2$ dessen unterliegende Abbildung nicht harmonisch ist. Im zweiten Teil studieren wir einen klassischen Satz, der besagt, dass die Gruppe der Automorphismen einer Mannigfaltigkeit, die eine $G$-Struktur endlichen Typs erhalten, eine Lie-Gruppe bildet, im Kontext von Supermannigfaltigkeiten. Wir verallgemeinern dieses Theorem auf die Kategorie der $cs$ Mannigfaltigkeiten und illustrieren es anhand einiger, sowohl klassische Objekte verallgemeinernder als auch genuin supergeometrischer, Beispiele. Insbesondere ist es nötig eine neue Klasse von Supermannigfaltigkeiten einzuführen - gemischte Supermannigfaltigkeiten. UNSPECIFIED
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Ostermayr, Dominik dominik.ostermayr@gmail.com UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-75033
Date:	2017
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Science Education > Institute of Mathematics Education
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language harmonic maps, super Riemann surfaces, automorphism supergroups, $G$-structures of finite type UNSPECIFIED
Date of oral exam:	20 January 2017
Referee:	Name Academic Title Alldridge, Alexander PD Dr. Marinescu, George Prof. Dr. Wurzbacher, Tilmann Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/7503