Universität zu Köln

Das Thema meiner Dissertation sind Untermannigfaltigkeiten mit paralleler Fokalstruktur. Diese sind Verallgemeinerungen von isoparametrischen Untermannigfaltigkeiten im Euklidischen Raum und äquifokalen Untermannigfaltigkeiten in symmetrischen Räumen auf beliebige umgebende Räume. Alexandrino hat in seiner Dissertation bewiesen, dass ein reguläres Blatt einer singulären Riemannschen Blätterung, die vollständige orthogonale Schnitte besitzt, eine parallele Fokalstruktur hat. In meiner Arbeit wird eine hinreichende Bedingung dafür angegeben, dass eine Untermannigfaltigkeit mit paralleler Fokalstruktur eine Zerlegung des umgebenden Raumes durch Parallel- und Fokalmannigfaltigkeiten liefert, und gezeigt, dass diese Zerlegung eine singulüre Riemannsche Blätterung ist. Damit sind diese Begriffe äquivalent. Im zweiten Teil der Arbeit wird für eine singuläre Riemannsche Blätterung über deren Aufblasung eine Holonomiewirkung auf den orthogonalen Schnitten eingeführt. Diese hat die gleiche geometrische Bedeutung für eine singuläre Riemannsche Blätterung wie die Wirkung der Weylgruppe für eine polare Wirkung. Ferner wird der Zusammenhang zwischen der Holonomie und dem Schnittort einer Untermannigfaltikeit untersucht. Am Ende wird ein Resultat von Ewert korrigiert und damit gezeigt, dass jedes reguläre Blatt einer singulären Riemannschen Blätterung mit vollständigen Schnitten in einem einfach-zusammenhängenden symmetrischen Raum triviale normale Holonomie hat, und dass der Schnittort des Blattes nur aus Fokalpunkten besteht.

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