Universität zu Köln

Submanifolds with Parallel Focal Structure

Töben, Dirk (2003) Submanifolds with Parallel Focal Structure. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    This thesis covers submanifolds with parallel focal structure. These are generalizations of isoparametric submanifolds in Euclidean space and equifocal submanifolds in symmetric spaces to arbitrary ambient spaces. Alexandrino proved in his thesis that a regular leaf of a singular Riemannian foliation admitting complete sections has parallel focal structure. In my work we find a sufficient condition for a submanifold with parallel focal structure to induce a partition of the ambient space by parallel and focal manifolds. In addition we prove that this partition is a singular Riemannian foliation. This means that these two notions are equivalent. In the second part of my thesis we define a transversal holonomy group via the blow-up. This group has the same geometric meaning for singular Riemannian foliations as the Weylgroup has for a polar action. Moreover we study the relation between this group and the cut locus of a submanifold. At the end we correct a result of Ewert and prove that every regular leaf of a singular Riemannian foliation admiting sections in a simply-connected symmetric space has trivial normal holonomy and that its cut locus only consists of focal points.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Das Thema meiner Dissertation sind Untermannigfaltigkeiten mit paralleler Fokalstruktur. Diese sind Verallgemeinerungen von isoparametrischen Untermannigfaltigkeiten im Euklidischen Raum und äquifokalen Untermannigfaltigkeiten in symmetrischen Räumen auf beliebige umgebende Räume. Alexandrino hat in seiner Dissertation bewiesen, dass ein reguläres Blatt einer singulären Riemannschen Blätterung, die vollständige orthogonale Schnitte besitzt, eine parallele Fokalstruktur hat. In meiner Arbeit wird eine hinreichende Bedingung dafür angegeben, dass eine Untermannigfaltigkeit mit paralleler Fokalstruktur eine Zerlegung des umgebenden Raumes durch Parallel- und Fokalmannigfaltigkeiten liefert, und gezeigt, dass diese Zerlegung eine singulüre Riemannsche Blätterung ist. Damit sind diese Begriffe äquivalent. Im zweiten Teil der Arbeit wird für eine singuläre Riemannsche Blätterung über deren Aufblasung eine Holonomiewirkung auf den orthogonalen Schnitten eingeführt. Diese hat die gleiche geometrische Bedeutung für eine singuläre Riemannsche Blätterung wie die Wirkung der Weylgruppe für eine polare Wirkung. Ferner wird der Zusammenhang zwischen der Holonomie und dem Schnittort einer Untermannigfaltikeit untersucht. Am Ende wird ein Resultat von Ewert korrigiert und damit gezeigt, dass jedes reguläre Blatt einer singulären Riemannschen Blätterung mit vollständigen Schnitten in einem einfach-zusammenhängenden symmetrischen Raum triviale normale Holonomie hat, und dass der Schnittort des Blattes nur aus Fokalpunkten besteht.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Töben, Dirkdtoeben@mi.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-10756
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    equifocal, singular Riemannian foliation, cut locus of a submanifoldEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: 2003
    Date Type: Completion
    Date of oral exam: 10 December 2003
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 17 Mar 2004 08:58:09
    Referee
    NameAcademic Title
    Thorbergsson, GudlaugurProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/1075

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