Universität zu Köln

On Non-local Boundary Value Problems for Elliptic Operators

Frey, Christian (2005) On Non-local Boundary Value Problems for Elliptic Operators. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    In this thesis we study non-local boundary value problems for elliptic differential operators on manifolds with smooth boundary. First of all a theory for general elliptic operators is developed. Among other things we prove that all weak solutions to a given boundary value problem are strong ones if and only if the boundary condition satisfies a certain regularity estimate. The boundary conditions considered in this thesis are subject to the following condition. The operator and its commutator with a generator of the Sobolev scale on the boundary are bounded on the full Sobolev scale. In comparison with the existing literature this class of boundary conditions is rather general and covers spectral as well as some non-pseudolocal boundary conditions. As is shown in the appendix, the operators satisfying the above-mentioned commutator condition form a C*-Algebra. This turns out to be crucial for the whole theory. The central object in our regularity theory are the Calderón projection and its range, the Cauchy data space. We give a simplified proof for the fact that the Calderón projection of an arbitrary elliptic differential operator is a classical pseudodifferential operator on the boundary. The most important analytic properties of an extension, regularity, well-posedness and self-adjointness, may be characterised in terms of the pair of spaces formed by the Cauchy data space and the boundary values satisfying the given condition. In the case of pseudodifferential conditions this leads to well-known criteria. For formally self-adjoint operators we show that the set of regular self-adjoint extensions is parametrised by the Fredholm Langrange Grassmannian associated to the Cauchy data space. Then we apply the general results to the most important classes of geometric differential operators, namely Dirac and Laplace operators. We show, e.g., how cobordism invariance of the index of Dirac operators can be deduced from properties of the Cauchy data space using merely elementary Fredholm theory. For Laplace operators we discuss some classical boundary value problems first. Those boundary conditions leading to self-adjoint are described in detail. Moreover we establish a necessary and sufficient criterion for semi-boundedness.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    In dieser Arbeit werden nicht-lokale Randwertprobleme für elliptische Differentialoperatoren auf kompakten Mannigfaltigkeiten mit glattem Rand beleuchtet. Dabei wird zunächst die Randwerttheorie für allgemeine elliptische Differentialoperatoren aufgebaut. U.a. wird bewiesen, dass alle schwachen Lösungen, die einer gegebenen Randbedingung genügen, genau dann stark sind, wenn für die starken Lösungen eine gewisse Regularitätsabschätzung gilt. Die hier betrachteten Randbedingungen lassen sich durch Projektionen beschreiben, die folgende Bedingung erfüllen. Der Operator und sein Kommutator mit einem Erzeuger der Sobolev-Skala auf dem Rand ist auf der gesamten Sobolev-Skala beschränkt. Im Vergleich zur bestehenden Literatur ist diese Klasse von Randbedingungen sehr allgemein und umfasst sowohl spektrale Randbedingungen als auch einige nicht-pseudolokale Randbedingungen. Wie im Anhang bewiesen wird, bilden die Operatoren, die obiger Kommutator-Bedingung genügen, eine lokale C*-Algebra, was sich als grundlegend für den gesamten Aufbau der Theorie herausstellt. Im Mittelpunkt der Regularitätstheorie steht der Calderón-Projektor bzw. sein Bild, der Cauchy-Daten-Raum. Wir geben hier einen vereinfachten Beweis dafür, dass der Calderón-Projektor eines beliebigen elliptischen Differentialoperators ein klassischer Pseudodifferentialoperator auf dem Rand ist. Die wichtigsten analytischen Eigenschaften einer Fortsetzung, Regularität, Korrektgestelltheit und Selbstadjungiertheit, lassen sich über das durch den Cauchy-Datenraum einerseits und den Raum der zugelassen Randwerte andererseits gebildete Raumpaar beschreiben. Im Falle pseudodifferentieller Randbedingungen gelangen wir so zu den bekannten Kriterien. Für alle formal selbstadjungierten Differentialoperatoren wird gezeigt, dass die Gesamtheit der regulären selbstadjungierten Fortsetzungen durch die zum Cauchy-Datenraum assoziierte Fredholm-Langrange Grassmannsche parametrisiert wird. Danach wenden wir die allgemeinen Ergebnisse auf zwei der wichtigsten Klassen geometrischer Differentialoperatoren, Dirac- und Laplaceoperatoren, an. U.a. wird die Invarianz des Index eines Dirac-Operators unter Kobordismen mit Hilfe elementarer Fredholmtheorie aus den Eigenschaften des Cauchy-Daten-Raums gefolgert. Für Laplaceoperatoren besprechen wir eine Reihe klassischer Randwertprobleme. Es werden die Randbedingungen, die zu selbstadjungierten Fortsetzungen führen, genauer charakterisiert. Weiter wird ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für Halbbeschränktheit bewiesen.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Frey, Christiancfrey@mi.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-15121
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    non-local boundary value problems, pseudodifferential boundary value problemsEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: 2005
    Date Type: Completion
    Date of oral exam: 12 July 2005
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 31 Aug 2005 11:15:19
    Referee
    NameAcademic Title
    Lesch, MatthiasProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/1512

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