Galleries and q-analogs in combinatorial representation theory - Kölner UniversitätsPublikationsServer

Schwer, Christoph (2006). Galleries and q-analogs in combinatorial representation theory. PhD thesis, Universität zu Köln. Open Access

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Abstract

Schur functions and their q-analogs constitute an interesting branch of combinatorial representation theory. For Schur functions one knows several combinatorial formulas regarding their expansion in terms of monomial symmetric functions, their structure constants and their branching coefficients. In this thesis we prove q-analogs of these formulas for Hall-Littlewood polynomials. We give combinatorial formulas for the expansion of Hall-Littlewood polynomials in terms of monomial symmetric functions, for their structure constants and their branching coefficients. Specializing these formulas we get new proofs for the formulas involving Schur functions. As a combinatorial tool we use the gallery model introduced by Gaussent and Littelmann and show its relation to the affine Hecke algebra. All assertions are then proven in the more general context of the Macdonald basis of the spherical Hecke algebra. We show a commutation formula in the affine Hecke algebra with which we obtain a Demazure character formula involving galleries. We give a geometric interpretation of Kostka numbers and Demazure multiplicities of a complex reductive algebraic group using the affine Grassmanian of its Langlands dual group. As a further application we prove some first results regarding the positivity of Kostka-Foulkes coefficients.

Item Type:

Thesis (PhD thesis)

Translated abstract:

Abstract

Language

Schur Polynome und ihre q-Analoga sind ein interessantes Gebiet der kombinatorischen Darstellungstheorie. Kombinatorische Formeln für die Koeffizienten der Schur Polynome bezüglich der monomialen symmetrischen Funktionen, für ihre Strukturkonstanten und für die Verzweigungskoeffizienten sind wohlbekannt. In dieser Dissertation werden q-Analoga dieser Formeln für die Hall-Littlewood Polynome bewiesen. Es werden kombinatorische Formeln für die Koeffizienten der Hall-Littlewood Polynome bezüglich der monomialen symmetrischen Polynome, für ihre Strukturkonstanten und ihre Verzweigungskoeffizienten gezeigt. Spezialisiert man diese Formeln, erhält man neue Beweise für die klassischen Formeln bezüglich der Schur Polynome. Als kombinatorisches Hilfsmittel wird das Galerienmodell von Gaussent und Littelmann benutzt und mit der affinen Hecke Algebra in Verbindung gebracht. Die Aussagen über die Hall-Littlewood Polynome werden allgemeiner für die Macdonald Basis der sphärischen Hecke Algebra bewiesen. Es wird eine Vertauschungsformel in der affinen Hecke Algebra gezeigt, die sich zu einer Demazure Charakterfomel spezialisieren lässt. Kostka Zahlen und Demazure Multiplizitäten von komplexen reduktiven algebraischen Gruppen werden mit Hilfe der affinen Grassmannschen der Langlands dualen Gruppe geometrisch interpretiert. Auch werden erste Resultate hinsichtlich der Positivität der Kostka-Foulkes Koeffizienten erzielt.

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