Universität zu Köln

On Formality and Solvmanifolds

Bock, Christoph (2008) On Formality and Solvmanifolds. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    Topology of symplectic manifolds is nowadays a subject of intensive development. The simplest examples of such manifolds are Kähler manifolds and an important property of the latter is their formality. Thus, a possible way of constructing symplectic manifolds with no Kähler structure is to find such ones which are not formal. M. Fernández und V. Muñoz considered in this decade the question of the geography of non-formal compact manifolds. Given a positive integer m and a natural number b, they showed whether or not there are m-dimensional non-formal compact manifolds with first Betti number b. The aim of this thesis is to answer the same question for compact symplectic manifolds. After setting the scene in the first chapter, this is done in the second one - except for the six-dimensional case with b = 1. The third chapter deals with solvmanifolds, especially with those of dimension less than or equal to six, because I hoped to find the missing example among them, and in fact there is a six-dimensional symplectic solvmanifolds which is non-formal and satisfies b = 1. Besides formality, compact Kähler manifolds have even odd-degree Betti numbers and they satisfy the so-called Hard Lefschetz condition. To end Chapter 3, I deal with relations between this three properties for symplectic solvmanifolds. I am able to give an answer to two questions that had remained open in an article of R. Ibáñez, Y. Rudiak, A. Tralle and L. Ugarte. Furthermore, in the last chapter I prove a result that allows an easy computation of the higher homotopy groups of a class of spaces containing all nilpotent ones. Without giving a proof, St. Halperin stated it in the introduction of his book Lectures on Minimal Models

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Bis in die siebziger Jahre war nicht bekannt, ob es kompakte symplektische Mannigfaltigkeiten gibt, die keine Kähler-Struktur tragen. Das erste Beispiel einer solchen Mannigfaltigkeit wurde 1976 von W. P. Thurston angegeben. Er konstruierte eine symplektische vier-dimensionale Nilmannigfaltigkeit (d.i. ein kompakter Quotient einer zusammenhängenden und einfach-zusammenhängenden nilpotenten Liegruppe nach einer diskreten Untergruppe) mit erster Betti-Zahl gleich drei. Aus topologischen Gründen kann diese Mannigfaltigkeit nicht Kählersch sein, denn die Betti-Zahlen von ungeradem Grad sind für Kähler-Mannigfaltigkeiten gerade. L. A. Cordero, M. Fernández und A. Gray haben in den achtziger Jahren weitere Beispiele angegeben, die aber teilweise gerade Betti-Zahlen haben. Die Autoren weisen nach, daß ihre Beispiele nicht formal sind. Hieraus folgt dann, daß sie auch nicht Kählersch sein können, denn P. Deligne, P. Griffiths, J. Morgan und D. Sullivan haben 1975 bewiesen, daß Formalität notwendig für die Existenz von Kähler-Strukturen ist. Die o.g. Arbeit von L. A. Cordero, M. Fernández und A. Gray zeigt insbesondere, daß symplektische Mannigfaltigkeiten i.a. nicht formal sind. Ich gebe im ersten Kapitel einen kurzen Überblick über die Theorie der minimalen Modelle, insoweit sie zur Definition des Begriffes der Formalität notwendig ist. M. Fernández und V. Muñoz haben in dieser Dekade eine Arbeit über die Geographie formaler Mannigfaltigkeiten geschrieben. In Abhängigkeit der Dimension und der ersten Betti-Zahl sagen sie genau, wann eine geschlossene formale Mannigfaltigkeit existiert. Im zweiten Kapitel beantworte ich dieselbe Fragestellung für Mannigfaltigkeiten, die zusätzlich eine symplektische Struktur tragen: Genau dann wenn es eine nicht-formale geschlossene 2n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit erster Betti-Zahl gleich b gibt, existiert auch eine nicht-formale geschlossene 2n-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit mit erster Betti-Zahl gleich b. Ferner beweise ich im zweiten Kapitel für alle positiven natürlichen Zahl n und b mit b > 1 die Existenz einer nicht-formalen geschlossenen Kontaktmannigfaltigkeit der Dimension 2n+1 mit erster Betti-Zahl gleich b. Die Konstruktion einer nicht-formalen sechs-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit mit erster Betti-Zahl gleich eins war mir nicht auf Anhieb gelungen. In der Hoffnung, ein entsprechendes Beispiel zu finden, habe ich mich dem Studium von Solvmannigfaltigkeiten zugewendet, welches den Inhalt des dritten Kapitels bildet. Die oben definierten Nilmannigfaltigkeiten stellen eine reichhaltige Quelle symplektischer Mannigfaltigkeiten, die nicht Kählersch sind, dar. Eine Nilmannigfaltigkeit ist nämlich genau dann formal, wenn sie ein Torus ist. (Und genau in diesem Fall trägt sie auch eine Kähler-Struktur.) M. a. W. ist jede symplektische nicht-torale Nilmannigfaltigkeit nicht formal. Nilmannigfaltigkeiten helfen bei der Suche nach einer Mannigfaltigkeit mit erster Betti-Zahl gleich eins jedoch nicht weiter, da diese für sie immer größer als eins ist. Der Begriff der Solvmannigfaltigkeit ist eine Verallgemeinerung desjenigen der Nilmannigfaltigkeit. Eine Solvmannigfaltigkeit ist ein kompakter Quotient aus einer zusammenhängenden und einfach-zusammenhängenden auflösbaren Liegruppe nach einer diskreten Untergruppe, und solche können auch erste Betti-Zahl gleich eins haben. Es erschien mir daher natürlich, unter den Solvmannigfaltigkeiten nach einem Beispiel einer nicht-formalen symplektischen sechs-Mannigfaltigkeit mit erster Betti-Zahl gleich eins zu suchen. In diesem Zusammenhang habe ich dann die bisher bis zur Dimension vier bekannte Klassifikation niedrig-dimensionaler Solvmannigfaltigkeiten um die Dimensionen fünf und sechs erweitert und den Aspekt der Formaltität hinzugefügt. Im sechs-dimensionalen Fall habe ich mich auf die Betrachtung von symplektischen Räumen beschränkt und unter diesen eine nicht-formale Mannigfaltigkeit mit erster Betti-Zahl gleich eins gefunden. Neben der Formalität und der Tatsache, daß die Betti-Zahlen ungeraden Grades gerade sind, erfüllen kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten die starke Lefschetz-Bedingung. Zum Abschluß von Kapitel 3 gehe ich der Frage nach, welche Kombinationen der drei genannten Eigenschaften für symplektische Solvmannigfaltigkeiten erfüllt bzw. nicht erfüllt sein können und beantworte diesbezüglich zwei Fragen, die in einer Arbeit von R. Ibáñez, Y. Rudiak, A. Tralle und L. Ugarte offen geblieben waren. St. Halperin nennt in seinem Buch Lectures on Minimal Models ein Ergebnis, das die Berechnung der höheren Homotopiegruppen einer gewissen Klasse von Räumen, die die der nilpotenten umschließt, mittels der Theorie der minimalen Modelle ermöglicht. Den Nachweis dessen, der in o. g. Buch nicht dargestellt ist, erbringe ich im vierten Kapitel.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Bock, Christophbock@math.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-26788
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    symplektische Topologie, homogene Räume, rationale HomotopietheorieGerman
    symplectic topology, homogeneous spaces, rational homotopy theoryEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: 2008
    Date Type: Completion
    Date of oral exam: 03 February 2009
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 04 May 2009 11:46:15
    Referee
    NameAcademic Title
    Geiges, HansjörgProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/2678

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