Universität zu Köln

Optimal Control of Capital Injections by Reinsurance and Investments

Eisenberg, Julia (2009) Optimal Control of Capital Injections by Reinsurance and Investments. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    An insurance company, having an initial capital x, cashes premiums continuously and pays claims of random sizes at random times. In addition to that, the company can buy reinsurance or/and invest money into a riskless or risky assets. The company holders are confronted with the problem of taking decisions on a business policy of the company. Thus, a measure for the risk connected with an insurance portfolio is sorely needed. The ruin probability, i.e. the probability that the surplus process becomes negative in finite time, is typically the measure for an insurance company's solvency. However, the ruin probability approach has been criticised among other things for not considering the severity of an insolvency and for ignoring the time value of money. An alternative to measure the risk of a surplus process is to consider the value of expected discounted capital injections, which are necessary to keep the process above zero. Naturally, it raises the question how to minimise this value. If the company holders prefer (or are indifferent) investing tomorrow to investing today, it is optimal to inject capital only when the surplus becomes negative and only as much as is necessary to keep the process above zero. In the first part of this work, we solve the problem of minimising the expected discounted capital injections over all dynamic reinsurance strategies for the classical risk model and its diffusion approximation. In the second part, we extend the concept by adding the possibility of investing money, if the surplus remains positive, into a riskless asset. In these two cases we are able to show the existence and uniqueness of the optimal reinsurance strategy and the value function as the minimising value of expected discounted capital injections. In the third part, we consider the surplus process, where the company holders can invest money into a risky asset modeled as a Black-Scholes model. The forth part extends the setup of the third part by possibility of reinsurance. In the last two cases we solve the problem explicitly only for the case of diffusion approximation. In the classical risk model the concept of viscosity solutions introduced by Crandall and Lions has been used. All the studies are illustrated by simulations, written in Java.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Eine Versicherungsgesellschaft mit Startkapital x erhält fortlaufend eingehende Prämien und zahlt an zufälligen Zeitpunkten Schadenbeträge von zufälliger Höhe aus. Zusätzlich steht es dem Versicherungsunternehmen frei Rückversicherung zu kaufen, das Geld zu einem risikolosen Zinssatz anzulegen oder in Aktien zu investieren. Die Inhaber müssen also Entscheidungen in Hinsicht auf die Unternehmenspolitik treffen. Deshalb braucht man ein Maß für die mit einem Versicherungsportfolio verbundenen Risiken. Typischerweise wird die Ruinwahrscheinlichkeit, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass der Überschussprozess in endlicher Zeit negativ wird, als Maß für die Solvenz eines Versicherungsunternehmens gewählt. Allerdings wird das Konzept der Ruinwahrscheinlichkeiten unter anderem dafür kritisiert, dass die Ruinstärke und der Geldzeitwert vollkommen ignoriert werden. Als alternatives Risikomaß betrachtet man den Wert der erwarteten diskontierten Kapitalzuführungen, welche notwendig sind damit der Überschussprozess nichtnegativ bleibt. Es stellt sich die Frage, wie man diesen Wert minimiert. Wir nehmen an, dass die Inhaber der Versicherungsgesellschaft das Geld heute dem Geld morgen bevorzugen. Dann ist es optimal das Kapital nur dann zuzuführen, wenn der Überschussprozess negativ wird, und nur so viel, dass der Überschussprozess wieder auf 0 verschoben wird. Im ersten Teil der Arbeit lösen wir das Problem der Minimierung der erwarteten diskontierten Kapitalzuführungen über alle dynamischen Rückversicherungsstrategien für das klassische Modell der Risikotheorie und für eine Diffusionsapproximation. Im zweiten Teil erweitern wir das vorherige Konzept durch die Möglichkeit der Anlage des nichtnegativen Überschusses zu einem festen risikolosen Zinssatz. In diesen Fällen werden wir die Existenz und Eindeutigkeit der optimalen Rückversicherungsstrategie und der Wertefunktion als Minimum der erwarteten diskontierten Kapitalzuführungen zeigen können. Im dritten Teil betrachten wir den Überschussprozess, bei dem die Versicherungsgesellschaft in die Aktien investiert, deren Preis durch Black-Scholes Modell beschrieben wird. Teil vier erweitert den Aufbau des dritten Teils durch die Möglichkeit der Rückversicherung. In den beiden zuletzt genannten Fällen konnten wir eine explizite Lösung nur im Fall der Diffusionsapproximationen finden. Im klassischen Modell wird das Konzept der Viskositätslösungen, eingeführt von Crandall and Lions, verwendet. All die Betrachtungen werden durch Simulationen, geschrieben in Java, illustriert.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Eisenberg, Juliajeisenbe@math.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-30379
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    optimale Kontrolle, Hamilton-Jacobi-Bellman Gleichung, Kapitalzuführung, Cramer-Lundberg Modell, DiffusionsapproximationGerman
    optimal control, Hamilton-Jacobi-Bellman equation, capital injections, classical risk model, diffusion approximationEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: 2009
    Date Type: Completion
    Date of oral exam: 03 February 2010
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 07 Apr 2010 16:12:46
    Referee
    NameAcademic Title
    Schmidli, HanspeterProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/3037

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