Universität zu Köln

Stability criteria for nonlinear fully implicit differential-algebraic systems

Menrath, Michael (2011) Stability criteria for nonlinear fully implicit differential-algebraic systems. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    This thesis contributes to the qualitative theory of differential-algebraic equations(DAEs) by providing new stability criteria for solutions of a class of nonlinear, fully implicit DAEs with a properly stated derivative term and tractability index one and two. A generalization of the Andronov-Witt Theorem addressing orbital stability is proved. To this purpose, a state space representation of differential-algebraic systems based on the tractability index is developed which has advantageous properties, e.g. moderate smoothness requirements, commutativity with linearization and an autonomous structure in case of autonomous DAEs. It allows a suitable definition of characteristic multipliers referring to the inherent dynamics, but given in terms of the DAE. Furthermore, the fundamentals of Lyapunov's direct method with respect to diffe- rential-algebraic systems are worked out. Novel denitions of Lyapunov functions for differentiable solution components of a DAE are stated, where the monotoni- cally decreasing total time derivative of a Lyapunov function along DAE solutions is expressed in terms of the original system. The topology of the domain of the inherent dynamics turns out to be decisive for nonlocal existence of solutions given a Lyapunov function. As a result, practical stability criteria for bounded solutions of autonomous DAEs and for general solutions of DAEs with bounded partial derivatives of the constitutive function arise. Known contractivity denitions for DAEs can be interpreted in the context of this approach.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Die vorliegende Arbeit leistet einen Beitrag zur qualitativen Theorie differential-algebraischer Systeme (engl. differential-algebraic equations, DAEs), indem neue Stabilitätskriterien für eine Klasse nichtlinearer, voll-impliziter DAEs mit proper formuliertem Hauptterm und Traktabilitätsindex 1 und 2 hergeleitet werden. Das Theorem von Andronov-Witt wird auf asymptotische orbitale Stabilität von periodischen Lösungen voll-impliziter autonomer DAEs verallgemeinert. Zu diesem Zweck wird eine Zustandsraumdarstellung von differential-algebraischen Systemen um eine Referenzlösung herausgearbeitet, welche u.a. die autonome Struktur einer DAE korrekt wiederspiegelt. Sie basiert auf einer Verfeinerung der vollständi- gen Entkopplung im Rahmen des Traktabilitätsindex und setzt daher nur mode- rate Differenzierbarkeit der Systemgleichungen voraus. Die Transformation auf diese Zustandsraumdarstellung kommutiert mit Linearisierung entlang gleicher Lö- sung, folglich können charakteristische Multiplikatoren des Variationssystems der inhärenten Dynamik einer DAE in Termen des Ausgangssystems formuliert wer- den. Ein weiterer Schwerpunkt der Dissertation ist die Verallgemeinerung der direk- ten Methode von Lyapunov auf differential-algebraische Systeme. Es werden neue Denitionen von Lyapunov-Funktionen für differenzierbare Lösungskomponenten einer proper formulierten DAE aufgestellt, bei denen die Monotonie entlang von Lösungen in Termen des Ausgangssystems ausgedrückt wird. Es stellt sich her- aus, dass ein zylindrischer Denitionsbereich der inhärenten Dynamik neben der Existenz einer solchen Lyapunov Funktion entscheidend ist, um die Lösbarkeit auf unbeschränkten Intervallen zu garantieren. Dabei werden praktische Stabilitäts- kriterien für beschränkte Lösungen von autonomen DAEs und für allgemeine Lö- sungen von DAEs mit beschränkten partiellen Ableitungen der Systemgleichungen bewiesen. Der Zugang erlaubt auch eine Interpretation bekannter Kontraktivitäts- begriffe für differential-algebraische Systeme.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Menrath, Michaelmmenrath@math.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-33030
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    differential-algebraische Systeme, Andronov-Witt Theorem, Lyapunov Funktion, Kontraktivität, orbitale StabilitätGerman
    differential-algebraic systems, Andronov-Witt theorem, Lyapunov function, contractivity, orbital stabilityEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: 2011
    Date Type: Completion
    Date of oral exam: 24 January 2011
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 08 Feb 2011 11:05:28
    Referee
    NameAcademic Title
    Tischendorf, CarenProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/3303

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