Universität zu Köln

Constructions of open books and applications of convex surfaces in contact topology

Klukas, Mirko (2012) Constructions of open books and applications of convex surfaces in contact topology. PhD thesis, Universität zu Köln.

[img]
Preview
PDF - Accepted Version
Download (647Kb) | Preview

    Abstract

    In the present thesis we introduce an extension of the contact connected sum, in the sense that we replace the tight $3$-balls by standard neighbourhoods of Legendrian graphs $G \subset (S^3,\xi_{st})$. By the use of convex surface theory we show that there is a Weinstein cobordism from the original contact manifold to the result of the extended contact connected sum. We approach the analogue of this result in higher dimensions, using different methods, and present a generalised symplectic $1$-handle which is used for the construction of exact symplectic cobordisms. Furthermore we describe compatible open books for the fibre connected sum along binding components of open books as well as for the fibre connected sum along multi-sections of open books. Given a Legendrian knot $L$ with standard neighbourhood $N$ in a closed contact $3$-manifold $(M,\xi)$, the homotopy type of the contact structure $\xi|_{M\setminus N}$ on the knot complement depends on the rotation number of $L$. We give an alternative proof of this folklore theorem, as well as for a second folklore theorem that states, up to stabilisation, the classification of Legendrian knots is purely topological. Let $\zeta$ denote the standard contact structure on the $3$-dimensional torus $T^3$. Denoting by $\Xi{(T^3,\zeta)}$ the connected component of $\zeta$ in the space of contact structures on $T^3$, we show that the fundamental group $\pi_1\big( \Xi{(T^3,\zeta)} \big)$ is isomorphic to $\mathbb{Z}$.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    In der vorliegenden Arbeit erweitern wir die Kontakt-verbundene Summe indem wir die straffen $3$-B\"alle durch Standardumgebungen von Legendre Graphen $G \subset (S^3,\xi_{st})$ ersetzen. Mit Hilfe von konvexen Fl\"achen zeigen wir die Existenz eines Weinstein Kobordismuses zwischen der urspr\"unglichen Kontaktmannigfaltigkeit und dem Resultat der erweiterten verbundenen Summe. Mit anderen Methoden zeigen wir ein analoges Resultat in h\"oheren Dimensionen und pr\"asentieren einen verallgemeinerten symplektischen $1$-Henkel mit dessen Hilfe wir exakte symplektische Kobordismen konstruieren. Dar\"uber hinaus konstruieren wir sowohl kompatible offene B\"ucher f\"ur die Faser-verbundene Summe entlang von Bindungskomponenten offener B\"ucher, als auch kompatible offene B\"ucher f\"ur die Faser verbundene Summe entlang von mehrfachen Schnitten offener B\"ucher. F\"ur einen gegebenen Legendre Knoten $L \subset (M,\xi)$ mit Standardumgebung $N$ in einer Kontaktmannigfaltigkeit $(M,\xi)$ h\"angt der Homotopietyp der Kontaktstruktur $\xi|_{M \setminus N}$ \"uber dem Knotenkomplement von der Rotationszahl von $L$ ab. Wir geben einen alternativen Beweis sowohl f\"ur dieses als auch f\"ur ein weiteres Folkloretheorem, das besagt, dass die Klassifikation von Legendre Knoten, bis auf Stabilisierungen, rein topologischer Natur ist. Sei mit $\zeta$ die Standardkontaktstruktur auf dem $3$-dimensionalen Torus $T^3$ bezeichnet. Ferner bezeichne $\Xi{(T^3,\zeta)}$ die Zusammenhangskomponente von $\zeta$ im Raum der Kontaktstrukturen auf $T^3$, dann zeigen wir, dass die Fundamentalgruppe $\pi_1\big( \Xi{(T^3,\zeta)} \big)$ isomorph zu $\Z$ ist.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Klukas, Mirkomirko.klukas@gmail.com
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-47706
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    contact topology, open books, convex surfacesEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: March 2012
    Date Type: Publication
    Date of oral exam: 11 May 2012
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 16 Jul 2012 13:40:10
    Referee
    NameAcademic Title
    Geiges, HansjörgProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/4770

    Actions (login required)

    View Item