Universität zu Köln

Statistische Inferenz für Performancemaße

Körner, Carsten (2013) Statistische Inferenz für Performancemaße. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    In dieser Dissertation werden die statistischen Eigenschaften der Schätzer der Performancemaße Sharpe-Ratio, Treynor-Ratio, Jensens Alpha, Modigliani-Modigliani(= Risk-Adjusted Performance), Kappa (incl. Omega und Sortino-Ratio) und Excess Return on Value-at-Risk (ERVaR) untersucht, zudem die Eigenschaften der Differenz des Performancemaßschätzers für zwei Portfolios. Die wichtigsten Ergebnisse der Arbeit sind asymptotische Varianzformeln für die Performancemaßschätzer. Sie werden über die bereits von Jobson und Korkie(1981) für Sharpe- und Treynor-Ratio benutzte Delta-Methode hergeleitet. Für die Herleitung werden unabhängig und identisch verteilte (i.i.d.) Renditen angenommen, und es werden vereinfachte Formeln für i.i.d.-normalverteilte Renditen vorgestellt. Da die Schätzer asymptotisch normalverteilt sind, kann man einfache Konfidenzintervalle mit Normalverteilungsquantilen konstruieren. Alternativ sind Bootstrap-Konfidenzintervalle anwendbar. Simulationen mit Zeitreihenlänge n=60 zeigen in den meisten Szenarien eine ausreichende bis gute Konvergenz. Die Performancemaßschätzer sind in guter Näherung normalverteilt, angesehen von zwei Ausnahmen: a) Die Schätzer der Downside-Risk-Performancemaße Kappa und ERVaR weisen eine mehr oder weniger deutliche Rechtsschiefe auf; b) Die Verteilung des Schätzers des Treynor-Ratios hat bei geringer bis mäßiger Korrelation zwischen Portfolio und Markt sehr starke Flanken. Für die Varianzen (Vergleich der empirischen Varianz mit der asymptotischen Varianz bzw. dessen Schätzungen) und die Konfidenzintervalle (Berechnung empirischer überdeckungshäufigkeiten) sind die Ergebnisse ähnlich. Im Einzelfall kann die Geschwindigkeit der Konvergenz deutlich von den jeweiligen Simulationsparametern abhängen. Deswegen werden für jedes untersuchte Performancemaß Simulationsergebnisse für eine größere Zahl von Parameterkombinationen berichtet. Die Konvergenzeigenschaften lassen sich durch eine höhere Renditefrequenz, z.B. durch den Wechsel von Monats- auf Wochendaten, verbessern. Die Ergebnisse sind relativ robust gegenüber Verletzungen der Verteilungsannahmen, z.B. abhängigen Varianzen, nicht jedoch bei autokorrelierten Renditen. Aus ökonomischer Sicht sind die Standardabweichungen der Performancemaßschätzer sehr groß. Betrachtet man den Fall von Monatsrenditen für fünf Jahre, müssen die erwarteten (Über-)Renditen sehr groß sein, damit der Schätzer eines Performancemaß einigermaßen zuverlässig einen positiven Wert liefert. Der einfache Grund dafür ist, dass Renditeschätzungen für risikobehaftete Portfolios auf der Basis von Renditedaten aus wenigen Jahren bekanntermaßen unzuverlässig sind. Alle hier untersuchten Performancemaße sind Quotienten oder Differenzen mit der erwarteten Rendite als Dividend oder Teil des Minuends. Dieses Problem kann nicht durch eine Erhöhung der Renditefrequenz gelöst werden. Weiterhin enthält die Arbeit eine Einführung in Renditemodelle und eine Literaturzusammenfassung über Eigenschaften empirischer Renditen für Aktien, Investmentfonds und Hedgefonds. Diese Arbeit richtet sich auch an Praktiker, Studierende und Nicht-Mathematiker.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    This doctoral thesis is about the statistical properties of the estimators of the performance measures Sharpe Ratio, Treynor Ratio, Jensen's Alpha, Modigliani-Modigliani (= Risk-Adjusted Performance), Kappa (incl. Omega and Sortino Ratio) and Excess Return on Value-at-Risk, and the estimators of the difference of a performance measure for two portfolios. I chose the empirical quantile as estimator for the Value-at-Risk. The main innovative results are variance formulas for the estimators of the performance measures. They are derived with the Delta Method already used by Jobson and Korkie (1981) for the Sharpe and Treynor ratios. We assume independent and identically distributed (i.i.d.) random variables or random vectors. For most of the formulas, simplified versions for i.i.d.-normal variables/vectors were calculated. You can find all formulas in appendix "Anhang A.2". The asymptotic results imply normality of the estimator, so that an asymptotic confidence interval can be constructed using normal quantiles. Bootstrap methods are applicable, too. Simulations with time series of the length n = 60 show that the convergence to the asymptotic results is reasonable to good in most cases. The estimators of performance measures are approximately normally distributed with two exceptions: a) the downside risk performance measures Kappa and ERVaR whose estimators have a more or less right-skewed distribution and b) the distribution of the estimator of the Treynor Ratio is heavily fat-tailed if the correlation between the portfolio and the market is moderate or low. The equivalent can be said for the variance (comparison of the empirical variance with the asymptotic variance resp. its estimates) and the confidence intervals (comparison of the empirical relative coverage frequencies with the theoretical confidence level). Nevertheless the speed of convergence depends on the simulation parameters. Therefore this thesis contains extensive simulation results for all performance measures. If necessary, the fit can be enhanced by measuring the returns on a shorter time scale, for example by switching from monthly to weekly returns. The results are quite robust against time-varying volatility but not against autocorrelated returns. Economically, the standard deviations of the estimators of performance measures are very large. In the case of monthly returns for five years the ratio between the expected return and the standard deviation of the returns must be very large from an economical viewpoint for that overperformance can be detected with reasonable reliability. The reason is quite trivial: It is well known how difficult it is to estimate the expected return of a risky portfolio out of five years' return data. The performance measures examined in this thesis are all quotients or differences with the expected return as dividend or (part of the) minuend. This problem can not be treated by increasing the return data frequency.English
    Creators:
    CreatorsEmail
    Körner, Carstencwkoerner@gmx.de
    Corporate Creators: Universität zu Köln
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-52303
    Subjects: General statistics
    Economics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    Performancemaße, Finanzmarkt, Delta-Methode, Investmentfonds, Hedgefonds, Sharpe, Treynor, Jensen, RAP, Modigliani, Kappa, Omega, Sortino, ERVaRGerman
    performance, performance measures, finance, mutual funds, hedge funds, delta method, Sharpe, Treynor, Jensen, RAP, Modigliani, Kappa, Omega, Sortino, ERVaREnglish
    Faculty: Wirtschafts- u. Sozialwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Wirtschafts- u. Sozialwissenschaftliche Fakultät > Seminar für Wirtschafts- und Sozialstatistik
    Language: German
    Date: July 2013
    Date Type: Publication
    Date of oral exam: 20 June 2013
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 29 Jul 2013 16:23:31
    Referee
    NameAcademic Title
    Schmid, FriedrichUniv.-.Prof Dr.
    Mosler, KarlUniv.-.Prof Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/5230

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