Universität zu Köln

Diese Arbeit ist Teil eines Forschungsprojektes ([AHZ08, All10, AHL11]) zur Entwicklung harmonischer Analysis auf symmetrischen Superräumen. Motiviert durch Anwendungen in der theoretischen Physik ist das übergeordnete Ziel, das Verständnis der sphärischen Funktionen, d.h. K-biinvarianter Eigenfunktionen G-invarianter Differentialoperatoren auf Quotienten, G/K , von Lie-Supergruppen. Ein solches ist unerlässlich um die Fourier-Transformation auf solche Superräume zu verallgemeinern, um dadurch etwa physikalisch relevante partielle Differentialgleichungen lösen zu können. Wir vermuten, dass, analog zum klassischen Fall, eine Charakterisierung sphärischer Funktionen als Matrixkoefizienten sphärischer Darstellungen möglich ist. Deshalb sind symmetrische Paare, (g, k), reduktiver komplexer Lie-Superalgebren mit geeigneten reellen Formen, d.h. gewöhnlichen Lie-Gruppen G0, der Ausgangspunkt dieser Arbeit. Äquivalent zur Kategorie solcher Supergruppenpaare, (G0 , g), ist die Kategorie der cs-Lie-Supergruppen. Wir entwickeln im Folgenden beide Sichtweisen, da die erstere besser zum Verständnis der algebraischen Darstellungstheorie geeignet ist, die letztere hingegen sich besser für die Beschreibung von Integration über Supermannigfaltigkeiten eignet. Das wesentliche Resultat dieser Arbeit ist unser Beweis von Theorem 3.60, dass den klassischen Satz von Cartan-Helgason, [Hel84], Kapitel V, Theorem 4.1, verallgemeinert, nämlich die Charakterisierung der sphärischen Höchstgewichtsdarstellungen Vλ : Genau dann ist Vλ sphärisch (d.h. besitzt einen K-invarianten Vektor), wenn der Höchtgewichtsvektor M-invariant ist; anders gesagt, wenn das höchste Gewicht λ auf dem toroidalen Teil h ∩ k einer θ-invarianten Cartanunteralgebra h mit maximalem Vektorteil a = h ∩ p verschwindet. Des Weiteren ist der K-invariante Vektor in diesem Fall bis auf Vielfache eindeutig. Hierbei ist G = KAN die Iwasawa Zerlegung von G und Q = M AN eine entsprechende minimal parabolische Untergruppe von G. Unser Beweis verallgemeinert im Wesentlichen die Beweistechnik von [Sch84] auf den Superfall. Im Fall von g = glq|r+s mit k = glq|s ⊕ gl0|r , auf den wir uns ab Abschnitt 3.3 konzentrieren, folgt in der Tat aus der K- die M-Invarianz und wir können somit eine notwendige Bedingung für sphärische endlichdimensionale Darstellungen dieses Paares angeben. Für die Umgekehrte Richtung, d.h. den Beweis, dass die M-Invarianz des Höchstgewichtsvektors auch hinreichend für die existens eines K-invarianten Vektors ist, müssen wir uns auf den Fall s = 1 und entweder r > q oder Darstellungen von hinreichend hohem höchsten Gewicht einschränken, um ein konkretes Superintegral in Abschnitt 3.5.1 berechnen zu können. Als Korollar erhalten wir analog zum klassischen Fall eine, im eingeschränkten Fall vollständige, Charakterisierung der endlichdimensionalen sphärischen Höchstgewichtsdarstellungen über ihr höchstes Gewicht. Ein weiteres Ergebnis ist die Entwicklung von induzierten Darstellungen und der Beweis von Frobeniusreziprozität in der Kategorie unendlichdimensionaler glatter Darstellungen von Lie-Supergruppenpaaren in Abschnitt 3.4.

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