Universität zu Köln

Z-bases and Hilbert-Poincaré polynomials related to PBW filtrations

Desczyk, Christian Rudolf (2015) Z-bases and Hilbert-Poincaré polynomials related to PBW filtrations. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    We investigate in this thesis irreducible finite–dimensional PBW graded highest weight representations for complex finite–dimensional simple Lie algebras. The thesis is divided into three parts. In the first part we construct for several fundamental weights and their multiples FFL bases of the corresponding modules mentioned above. Furthermore, we provide an explicit description of the defining ideals of these modules. We transfer the procedure of Feigin, Fourier and Littelmann to the cases considered by us. The second part does not contain any assumptions on the dominant integral highest weight. We consider monomial bases for the highest weight representation mentioned above, which can be described by using certain differential operators. Further we provide a criteria for such bases, which can be also applied to the FFL bases from the first part of this thesis. On the basis of this criteria it is possible to decide whether the given basis provides again a monomial basis, if the module is considered over a field of arbitrary characteristic. In the third and last part we provide a general formula for the degree of the Hilbert–Poincaré polynomials of PBW graded highest weight representations. It is sufficient to calculate the degree for every fundamental, what we do explicitly. The results of this thesis improve in several cases the understanding of the theory of PBW graded highest weight representations.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    In dieser Arbeit untersuchen wir irreduzible endlich dimensionale PBW graduierte Höchstgewichtsdarstellungen für komplexe endlich dimensionale einfache Lie Al- gebren. Dabei ist diese Arbeit in drei Teile gegliedert. Im ersten Teil konstruieren wir für ausgewählte fundamentale Gewichte und deren Vielfache FFL Basen für die entsprechenden oben genannten Moduln. Zudem geben wir eine explizite Beschreibung für die definierenden Ideale dieser Moduln an. Dabei übertragen wir das Vorgehen von Feigin, Fourier und Littelmann auf die von uns betrachteten Fälle. Der zweite Teil beinhaltet keine Voraussetzungen an das dominante ganzzahlige Höchstgewicht. Wir betrachten monomiale Basen für die oben gennanten Moduln, welche unter Benutzung von bestimmten Differentialoperatoren beschrieben werden können. Ferner stellen wir ein Kriterium für solche Basen zur Verfügung, welches unter anderem auch auf die FFL Basen aus dem ersten Teil dieser Arbeit anwendbar ist. Anhand dieses Kriteriums lässt sich entscheiden, ob die gegebeneBasis ebenso eine monomiale Basis liefert, falls der Modul über einen Körper mit beliebiger Charakteristik betrachtet wird. Im dritten und letzen Teil stellen wir eine allgemeine Formel für den Grad des Hilbert–Poincaré–Polynoms für PBW graduierte Höchstgewichtdarstellungen zur Verfügung. Dabei reicht es den Grad für jedes fundamentale Gewicht zu berech- nen, was wir explizit ausführen. Mit den Resultaten dieser Arbeit verbessern wir in einigen Fällen das Verständnis der Theorie der PBW graduierten Höchstgewichtdarstellungen.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Desczyk, Christian Rudolfcdesczyk@math.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-62021
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    Representation theory, Lie algebras, polytopes, monomial bases, Hilbert-Poincaré polynomials, combinatorics, Hasse diagramsEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: 2015
    Date Type: Publication
    Date of oral exam: 19 June 2015
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 22 Jul 2015 16:42:55
    Referee
    NameAcademic Title
    Littelmann, PeterProf. Dr.
    Burban, IgorProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/6202

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