Vierkötter, Matthias (2016). On the Optimal Stochastic Control of Dividend and Penalty Payments in an Insurance Company. PhD thesis, Universität zu Köln.

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## Abstract

In this thesis we consider the surplus of a non-life insurance company and assume that it follows either the classical Cramér-Lundberg model or its diffusion approximation. That is, we consider a continuous time model, where premiums are cashed at a constant rate and claims occur randomly with random sizes modelled by a compound Poisson process. In actuarial mathematics the risk of an insurance company is traditionally measured by the probability of ruin, where the time of ruin is defined as the first time when the surplus becomes negative. Using the ruin probability as a risk measure has been criticised because it is unrealistic to assume that an insurance company is ruined as soon as the surplus becomes negative. In this thesis, we assume that the insurer is not ruined although the surplus becomes negative. In order to avoid ruin, penalty payments occur, depending on the level of the surplus. For example, penalty payments occur if the insurance company needs to borrow money. In the first part of this thesis we consider the diffusion approximation to the Cramér-Lundberg model and we aim to determine a dividend strategy that maximises the difference between the expected discounted dividend and penalty payments, where penalty payments are either modelled by an exponential, linear or quadratic function. We show that the optimal strategy is a so-called barrier strategy and calculate the optimal barrier. The second part studies the analogous problem where the surplus process of an insurance company is given by a Cramér-Lundberg model. Here, similar results are obtained. In conclusion, we consider the problem where we have to determine an optimal investment and reinsurance strategy and the surplus follows the diffusion approximation. The insurance company can invest in several risky assets and reduce the insurance risk either by excess of loss or proportional reinsurance. The aim is to find a strategy which minimises the penalty payments that are necessary to avoid ruin. Various penalty functions are considered and closed form solutions are derived.

Item Type: Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:
AbstractLanguage
In dieser Dissertation betrachten wir den Überschuss eines Sachversicherungsunternehmens, der entweder durch das klassische Cramér-Lundberg-Modell modelliert ist oder der Diffusionsapproximation zu diesem Modell. Wir betrachten demzufolge ein Modell in stetiger Zeit, in dem die Prämienzahlungen durch eine konstante Rate gegeben sind und Schäden zufällig auftreten. Dabei werden die Schadenhöhen durch einen zusammengesetzen Poisson Prozess modelliert. Das Risiko eines Versicherungsunternehmens wird in der Versicherungsmathematik in der Regel durch die Ruinwahrscheinlichkeit gemessen, wobei der Zeitpunkt des Ruins als der erste Zeitpunkt definiert ist an dem der Überschuss negativ wird. Die Verwendung der Ruinwahrscheinlichkeit als Risikomaß wird kritisiert, da es nicht realistisch ist anzunehmen, dass ein Versicherungsunternehmen ruiniert ist, sobald der Überschuss negativ wird. In dieser Arbeit nehmen wir an, dass das Versicherungsunternehmen nicht ruiniert ist, wenn der Überschuss negativ wird. Um den Ruin zu verhindern muss das Versicherungsunternehmen jedoch Strafzahlungen leisten, deren Höhe vom Niveau des Überschusses abhängt. Strafzahlungen entstehen beispielsweise durch die Aufnahme von Fremdkapital. Im ersten Teil dieser Arbeit betrachten wir die Diffusionsapproximation des Cramér-Lundberg-Modells und zielen darauf ab eine Dividendenstrategie zu bestimmen, die die Differenz zwischen den erwarteten diskontierten Dividenden- und Strafzahlungen maximiert, wobei Strafzahlungen entweder durch eine exponentielle, lineare oder quadratische Funktion modelliert werden. Wir zeigen, dass die optimale Dividendenstrategie eine sogenannte Barrierenstrategie ist und bestimmen die optimale Barriere. Im zweiten Teil betrachten wir das analoge Problem im Cramér-Lundberg Modell und erhalten ähnliche Resultate. Abschließend betrachten wir ein Problem, in dem eine optimale Kapitalanlage- und Rückversicherungsstrategie zu bestimmen ist und der Überschuss durch die Diffusionsapproximation gegeben ist. Das Ziel ist es eine Strategie zu ermitteln, die die erwarteten diskontierten Strafzahlungen, welche notwendig sind um Ruin zu vermeiden, minimiert. Es werden unterschiedliche Strafkostenfunktionen betrachtet und geschlossene Lösungen bestimmt.German
Creators:
CreatorsEmailORCID
URN: urn:nbn:de:hbz:38-66887
Subjects: Mathematics
Uncontrolled Keywords:
KeywordsLanguage
Stochastic control theory, dividends, reinsurance, investments, penalty payments, Hamilton-Jacobi-Bellman equation, classical risk model, diffusion approximationEnglish
Stochastische Kontrolltheorie, Dividenden, Rückversicherung, Kapitalanlagen, Strafzahlungen, Hamilton-Jacobi-Bellman Gleichung, Klassisches Risikomodell, DiffusionsapproximationGerman
Faculty: Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions: Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Mathematical Institute
Language: English
Date: 11 January 2016
Date of oral exam: 11 April 2016
Referee:
Schmidli, HanspeterProf. Dr. Dr.
Steinebach, Josef G.Prof. i.R. Dr.
Full Text Status: Public
Date Deposited: 25 Apr 2016 13:17
URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/6688