Universität zu Köln

Asymptotic Procedures for a Change-Point Analysis of Random Field

Bucchia, Beatrice (2016) Asymptotic Procedures for a Change-Point Analysis of Random Field. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    The aim of this thesis is to extend some methods of change-point analysis, where classically, measurements in time are examined for structural breaks, to random field data which is observed over a grid of points in multidimensional space. The thesis is concerned with the a posteriori detection and estimation of changes in the marginal distribution of such random field data. In particular, the focus lies on constructing nonparametric asymptotic procedures which take the possible stochastic dependence into account. In order to avoid having to restrict the results to specific distributional assumptions, the tests and estimators considered here use a nonparametric approach where the inference is justified by the asymptotic behavior of the considered procedures (i.e. their behavior as the sample size goes towards infinity). This behavior can often be derived from functional central limit theorems which make it possible to write the limit variables of the statistics as functionals of Wiener processes, independent of the distribution of the original data. A large part of this thesis is concerned with constructing viable asymptotic tests for an epidemic change. For a change in the mean, an asymptotic test is derived under the assumption of a functional central limit theorem. The asymptotic critical values of the test are estimated using the special form of the limit of the statistic. Estimators for the long-run variance, which influences the asymptotic distribution, are discussed. These need to be consistent under the null hypothesis, while staying stochastically bounded under the alternative hypothesis. A special focus there lies on taking a possible change in the mean into account. For a general change in the marginal distribution of the random field under mixing assumptions, the dependent wild bootstrap is introduced to construct an asymptotic test. This is achieved by constructing a test for a change in the mean of Hilbert space valued random fields and translating the change in the marginal distribution of a vector-valued random field into this setting. %a change in mean problem for Hilbert space valued observations. Under the assumption that a change has taken place, one is interested in determining the location of the change-set. For a change in the mean over a rectangular index set, consistent estimators for the edge points of the rectangle are presented and the rate of convergence is derived. Finally, for changes in the mean over more general sets, the consistency and rate of convergence of an argmax-type estimator of the change-set are obtained under the assumption of maximal inequalities. The latter general results are illustrated by examples for classes of sets which fulfill the assumptions.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Ziel dieser Arbeit ist die Übertragung und Erweiterung von Methoden der Change-Point Analyse, bei der klassischerweise Beobachtungen in der Zeit auf Strukturbrüche untersucht werden, auf die Anwendung auf Zufallsfelder, bei denen Beobachtungen auf Gitterpunkten im Raum gemacht werden. Die Arbeit beschäftigt sich mit a posteriori Problemen, bei denen ein gegebener Datensatz auf Strukturbrüche in der Randverteilung des Zufallsfeldes getestet und die Change-Menge gegebenenfalls geschätzt wird. Der besondere Fokus liegt dabei auf der Konstruktion nichtparametrischer asymptotischer Verfahren, die auf stochastisch abhängige Daten anwendbar sind. Um Verteilungsannahmen an die Daten zu vermeiden, werden dabei nichtparametrische Tests und Schätzer betrachtet, deren Funktionsweise auf ihrem asymptotischen Verhalten (für wachsende Beobachtungszahlen) beruht. Diese Asymptotik kann oft anhand von funktionalen Zentralen Grenzwertsätzen hergeleitet werden, anhand derer die Grenzvariablen unabhängig von der ursprünglichen Verteilung der Daten als Funktionale von Wiener Prozessen geschrieben werden können. Ein großer Teil dieser Arbeit dreht sich um die Konstruktion praktisch anwendbarer asymptotischer Tests für epidemische Strukturbrüche. Für einen Strukturbruch im Erwartungswert wird ein asymptotischer Test unter der Annahme eines funktionalen Zentralen Grenzwertsatzes hergeleitet, dessen kritische Werte anhand der speziellen Form der Grenzvariable hergeleitet werden. Des Weiteren werden Schätzer für die asymptotische Varianz, welche die asymptotische Verteilung der Teststatistik beeinflusst und daher unter der Nullhypothese konsistent geschätzt werden sollte, untersucht. Dabei liegt der Fokus auf der Berücksichtigung möglicher Strukturbrüche im Erwartungswert, unter denen der Schätzer weiterhin stochastisch beschränkt bleiben sollte. Für einen allgemeinen Strukturbruch in der Randverteilung unter Mixing-Annahmen wird ein Bootstrap-Verfahren vorgestellt, anhand dessen ein asymptotischer Test konstruiert wird. Letzteres wird erreicht, indem zunächst ein Test für einen Strukturbruch im Erwartungswert von Hilbertraum-wertigen Zufallsfeldern konstruiert und dann das Problem eines Strukturbruchs in der Randverteilung mehrdimensionaler Zufallsfelder in diese Art Fragestellung übersetzt wird. Liegt ein Strukturbruch vor, so ist man daran interessiert, die Change-Menge zu schätzen. Für einen Strukturbruch im Erwartungswert über einer rechteckigen Indexmenge werden konsistente Schätzer für die Eckpunkte des Rechtecks vorgestellt und die Konvergenzrate bestimmt. Schließlich werden die Konsistenz und Konvergenzrate eines argmax-Schätzers für Strukturbrüche im Erwartungswert über allgemeineren Change-Mengen mit Hilfe von Maximalungleichungen bestimmt. Diese allgemeinen Resultate werden durch Beispiele für Klassen von Mengen, für die die Annahmen erfüllt sind, ergänzt.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Bucchia, Beatriceb.bucchia@yahoo.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-69453
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    random fields, change-point analysis, long-run variance estimation, dependent wild bootstrap, FCLT for Hilbert space valued r.v., change-point estimation, change-set estimationEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: 2016
    Date Type: Publication
    Date of oral exam: 03 June 2016
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 17 Oct 2016 11:29:16
    Referee
    NameAcademic Title
    Steinebach, Josef G.Prof. i. R. Dr.
    Wefelmeyer, WolfgangProf. i. R. Dr.
    Huskova, MarieProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/6945

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