Universität zu Köln

Quantum Superspin Systems from Conformal Field Theory

Peschutter, Jochen Christian (2017) Quantum Superspin Systems from Conformal Field Theory. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    Phase transitions of second order play an important role in solid state physics. It is in their nature that they occur only in systems that are composed from an infinite number of components since, only that way, the necessary conditions for this (for example, scale invariance) are granted. Such a system at a second order phase transition is called critical. The infinite number of particles poses a particular challenge, even for the description of classical systems. Quantum mechanical systems, however, are distinctly more difficult to treat in this context, since the dimension of their state space grows exponentially with the number of their particles, not to mention the fact that only a few – and usually only one-dimensional – quantum systems are exactly solvable. One of these exactly solvable one-dimensional quantum systems is the SU(N) Haldane-Shastry spin chain that may be regarded as the archetype of long-range spin chains. Moreover, it is critical in the continuum limit and its effective low-energy theory is the so-called SU(N)_1 Wess-Zumino-Witten model. It is a quantum field theory which is not only conformally invariant, so, in particular, scale invariant, but, furthermore, exhibits additional symmetry in the shape of an infinite extension of the Lie algebra su(N) associated with SU(N). Recent studies show that, from these very structures of the SU(N)_1 WZW model, one can, in turn, derive spin systems, whose arrangement is not necessarily the one of a spin chain, but even two-dimensional distributions of the spins in the plane are possible. These systems are again characterized by long-range interactions, comparable to those of the Haldane-Shastry spin chain, which is also obtained as a result of an appropriate choice of parameters. In this thesis, we extend the construction already known for the SU(N) case to the supersymmetric case GL(m|n). Here, we construct explicitly both, a special quantum state as well as a Hamiltonian that projects this quantum state to zero. We also discuss the Hamiltonian in the special case of the GL(1|1) spin chain and compare it to the respective GL(1|1) Haldane-Shastry spin chain on a bipartite state space. Both are critical and we identify the corresponding conformal field theories. Subsequently, we describe a generalization of this system in terms of two parameters and explain how its spectrum was found. It is then analyzed and its continuum limit is determined. In doing so, it shows that the system displays criticality only for generic values of one of the two parameters.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Phasenübergänge zweiter Ordnung spielen in der Festkörperphysik eine besondere Rolle. In ihrer Natur liegt es, dass sie ausschließlich in Systemen auftreten, die sich aus unendlich vielen Einzelteilen zusammensetzen, da nur so die Voraussetzungen (bspw. Skaleninvarianz) hierfür gewährleistet werden können. Ein solches System an einem Phasenübergang zweiter Ordnung bezeichnet man als kritisch. Die unendlich große Teilchenzahl stellt schon für die Beschreibung klassischer Systeme eine besondere Herausforderung dar. Quantenmechanische Systeme hingegen sind in diesem Zusammenhang ungleich viel schwieriger zu behandeln, da die Dimension ihres Zustandsraums exponentiell mit der Anzahl ihrer Bestandteile wächst, ganz abgesehen davon, dass nur wenige – und meist auch nur eindimensionale – Quantensysteme exakt lösbar sind. Eines dieser exakt lösbaren eindimensionalen Quantensysteme ist die SU(N) Haldane-Shastry-Spinkette, die man wohl als Archetyp langreichweitiger Spinketten bezeichnen darf. Darüberhinaus ist sie kritisch im Kontinuumslimes und ihre effektive Niedrigenergie-Theorie ist das sog. SU (N)_1 Wess-Zumino-Witten-Modell. Dabei handelt es sich um eine Quantenfeldtheorie, die nicht nur konform invariant, also insbesondere skaleninvariant, ist, sondern darüberhinaus noch zusätzliche Symmetrie in Form einer unendlichen Erweiterung der mit SU (N) assoziierten Lie Algebra su(N) aufweist. Jüngste Untersuchungen zeigen, dass sich aus ebenjenen Strukturen des SU(N)_1 WZW-Modells wiederum Spinsysteme ableiten lassen, deren Anordnung nicht zwangsläufig der einer Spinkette entsprechen muss; auch zweidimensionale Verteilungen der Spins in der Ebene sind möglich. Diese Systeme zeichnen sich wiederum durch langreichweitige Wechselwirkungen aus, vergleichbar mit denen der Haldane-Shastry-Spinkette, die man im Übrigen bei entsprechender Wahl der Anordnung wiederum auch erhält. In dieser Arbeit erweitern wir die schon für den klassischen SU(N)-Fall bekannte Konstruktion auf den supersymmetrischen Fall von GL(m|n). Hierbei konstruieren wir explizit sowohl einen speziellen Quantenzustand als auch einen Hamiltonoperator, der diesen Quantenzustand auf Null projiziert. Desweiteren diskutieren wir den Hamiltonoperator im Spezialfall der GL(1|1) Spinkette und vergleichen diese mit der entsprechenden GL(1|1) Haldane-Shastry-Spinkette auf einem bipartiten Zustandsraum. Beide sind kritisch und wir identifizieren die entsprechenden konformen Feldtheorien. Im Anschluss beschreiben wir eine Verallgemeinerung dieses Systems in Abhängigkeit von zwei Parametern und erklären, wie das Spektrum hierfür gefunden wurde. Dieses wird analysiert und sein Kontinuumslimes wird bestimmt. Hierbei zeigt sich, dass dieses System nur dann kritisch ist, wenn ausschließlich einer der beiden Parameter variiert werden darf.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Peschutter, Jochen Christianjp@thp.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-75364
    Subjects: Mathematics
    Physics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    Quantum Superspin Systems; Quantum Spin Systems; Supersymmetry; Conformal Field Theory; CFT; logarithmic COnformal Field Theory; logCFT; SU(N) Wess-Zumino-Witten; SU(N) WZW; Spin Chains; SU(2) Haldane-Shastry; SU(N) Haldane-Shastry; GL(1|1) Haldane-Shastry; GL(m|n) Wess-Zumino-Witten; GL(m|n) WZW; GL(1|1) Spin Ladder; GL(m|m) Spin Ladder; Solid State Physics; Condensed Matter Physics; Topological States; General Lie Superalgebra gl(m|n); Null States; Null Fields; GL(m|n) Hamiltonian; Free Field Correlator; AKLT; Ising CFT;English
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Institut für Theoretische Physik
    Language: English
    Date: 01 April 2017
    Date Type: Publication
    Date of oral exam: 13 April 2016
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 18 Apr 2017 11:03:06
    Referee
    NameAcademic Title
    Quella, ThomasPD Dr.
    Zirnbauer, Martin R.Prof. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/7536

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