Universität zu Köln

Effective equations for a cloud of ultracold atoms in an optical lattice

Braukhoff, Marcel Hendrik (2017) Effective equations for a cloud of ultracold atoms in an optical lattice. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    In the last decades, the theory of charge transport in semiconductors has become a thriving field in applied mathematics. Due to the complexity of semiconductors consisting of some 10²³ atoms, there are several effective equations describing different phenomenological properties of semiconductors. Recently, the description of charge transport in semiconductors was extended by an experimental model: a cloud of ultracold atoms in an optical lattice. In this model, the ultracold atoms stand for the charged electrons and the optical lattice describes the periodic potential of the crystal formed by the ions of the semiconductor. This thesis is dedicated to effective equations for this experimental model of the charge transport in semiconductors. The main difference between a cloud of ultracold atoms and a system of electrons is the interaction. Assuming that the atoms are uncharged, the interaction potential is significantly more singular than the Coulomb potential of the electrons causing major structural difficulties in the analysis. In the microscopic description, this thesis investigates a semiconductor Boltzmann equation with BGK-type collision operator and a singular interaction potential. It is shown that for adequate analytic initial data, this equation possesses a local, analytic solution. Moreover, replacing the collision operator by a linear relaxation time approximation with constant equilibrium, this thesis provides a proof of the global existence of an analytic solution if all derivatives of the analytic initial data are sufficiently small. Using a diffusive limit, some macroscopic models are formally derived from the semiconductor Boltzmann equation with BGK-type collision operator: a drift diffusion equation being equal to the logarithmic diffusion equation and two systems of energy transport equations. The logarithmic diffusion equation is treated on a bounded domain with non-standard boundary conditions motivated by the microscopic picture of ultracold atoms. It is shown that the logarithmic diffusion equation admits a global classical solution which decays exponentially in time. The first energy transport model is a cross-diffusion equation which formally admits an entropy function. However, the singular interaction potential leads to degeneracies in the entropy dissipation, undermining a rigorous solution so far. Approximating the system formally, this thesis simplifies the first energy transport model to a second energy transport model, namely its high temperature expansion. This high temperature energy transport model is solved numerically and possesses a non-trivial weak lower solution.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    Bereits seit einigen Jahrzehnten blüht die Forschung in der angewandten Mathematik zu Ladungstransport in Halbleitern auf. Da ein Halbleiter aus einigen 10²³ Atomen besteht, sind vor allem effektive Gleichungen von großem Interesse, um einzelne Phänomene erklären zu können. Vor ein paar Jahren wurden die zahlreichen Modelle um ein weiteres ergänzt, dass im Gegensatz zu den bisherigen Modellen selbst ein Experiment ist. In diesem Modell werden die geladenen Elektronen durch ultrakalte Atome dargestellt und das periodische Potential des Halbleiterkristalls wird mithilfe eines optischen Gitters realisiert. Das Ziel dieser Dissertation ist die mathematische Behandlung von effektiven Gleichungen zur Beschreibung einer Wolke aus ultrakalten Atomen in einem optischen Gitter. Der Hauptunterschied von dem Experiment mit ultrakalten Atomen zu dem Ladungstransport in Halbleitern liegt in der unterschiedlichen Wechselwirkung. Bei ultrakalten, nicht geladenen Atomen tritt eine sehr singuläre Wechselwirkung auf. Da diese wesentlich irregulärer ist als die Coulombwechselwirkung zwischen Elektronen, erschwert dies erheblich die Analysis der Gleichungen. Eine Halbleiter-Boltzmann Gleichung mit einem BGK-Stoßoperator und einem singulären Potential ist ein geeignetes mikroskopisches Modell für eine Wolke aus ultrakalten Atomen in einem optischen Gitter. Es wird gezeigt, dass diese Gleichung für kurze Zeit eine analytische Lösung besitzt. Dafür wird allerdings vorausgesetzt, dass geeignete und analytische Anfangswerte vorliegen, deren Energiedichten klein genug sind. Ersetzt man den BGK-Stoßoperator durch eine lineare Relaxationszeit-Approximation mit konstantem Gleichgewicht, so wird für diese Halbleiter-Boltzmann Gleichung eine globale Lösung gefunden. Dafür müssen analytische Anfangswerte vorliegen, von denen jegliche Ableitungen genügend klein sind. Aus den mikroskopischen Gleichungen kann man mittels eines diffusiven Limes mikroskopische Gleichungen erhalten. In dieser Dissertation werden aus der Halbleiter-Boltzmann Gleichung mit einem BGK-Stoßoperator sowohl eine Driftdiffusionsgleichung als auch zwei Energietransport Gleichungen formal hergeleitet. Die Driftdiffusionsgleichung ist bei kleiner Dichte der Atomwolke die logarithmische Diffusionsgleichung. Diese Gleichung wird auf einem beschränktem Gebiet betrachtet und mit Randbedingungen versehen, die aus der mikroskopischen Gleichung motiviert werden. Mit diesen Randwerten besitzt die logarithmische Diffusionsgleichung eine globale Lösung die exponentiell abfällt. Die erste der beiden Energietransport Gleichungen wird direkt über einen diffusiven Limes der Halbleiter-Boltzmann Gleichung mit einem BGK-Stoßoperator erhalten und besteht aus einer Kreuzdiffusiongleichung. Bei solchen Kreuzdiffsusionsgleichungen wird häufig die Wohlgestelltheit mittels Entropieabschätzungen bewiesen. In dieser Dissertation wird allerdings gezeigt, dass diese Entropieabschätzungen wesentlich schwächer sind als bei gewöhnlichen Kreuzdiffusionsgleichungen für Halbleiter. Der Grund dafür ist das singuläre Wechselwirkungspotential, das zu starken Degeneriertheiten in der Entropiedissipation führt. Um dieses System an Gleichungen zu vereinfachen, kann man formal eine Entwicklung nach hohen Temperaturen durchführen und erhält ein zweites Energietransport Gleichungssystem. Für die Hochtemperatur-Energietransport Gleichungen wird in dieser Dissertation eine schwache untere Lösung, sowie eine numerische Lösung ermittelt.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Braukhoff, Marcel Hendrikmbraukho@math.uni-koeln.de
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-76555
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    Vlasov-Dirac-Benny equation, BGK collision operator, Boltzmann equation, ill-posedness, Energy-transport models, optical lattice, degenerate equations, quadratic gradient, existence of weak solutions, finite differencesEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: 2017
    Date Type: Publication
    Date of oral exam: 26 April 2017
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 06 Jul 2017 14:21:34
    Referee
    NameAcademic Title
    Kunze, MarkusProf. Dr.
    Kawohl, BerndProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/7655

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