Universität zu Köln

Diese Dissertation befasst sich mit der Analyse der Singularitäten geschlossener positiver Ströme auf kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten und besteht aus sechs Kapiteln. Im zweiten Kapitel werden Grundlagen zur Pluripotentialtheorie und zur komplexen Geometrie dargestellt. Im dritten Kapitel führen wir im Hermiteschen Kontext das Konzept der relativen nicht-pluripolaren Produkte ein, eine Methode zur Definition von Keilprodukten geschlossener positiver (1,1)-Ströme mit einem geschlossenen positiven (p,p)-Strom auf einer Hermiteschen Mannigfaltigkeit. Wir besprechen die Konstruktion dieses Produkts, die Monotonieeigenschaft sowie den Zusammenhang mit Dichteströmen, welche eine allgemeinere Methode zur Definition von Keilprodukten höherer Bi-Grad-Ströme darstellen. Das vierte Kapitel konzentriert sich auf die Abschätzung der Größe der Singularitätsmenge eines gegebenen geschlossenen positiven Stroms T, wobei die Singularitätsmenge die Menge der Punkte ist, an denen T positive Lelong-Zahlen besitzt. Genauer gesagt, leiten wir obere Schranken für das Volumen beliebiger maximal irreduzibler analytischer Mengen innerhalb der oberen Lelong-Niveaumengen von geschlossenen positiven Strömen her. Darüber hinaus zeigen wir im Fall des Bi-Grads (1,1), dass diese Schranken optimal sind. Im fünften Kapitel vergleichen wir die Lelong-Zahlen geschlossener positiver (1,1)-Ströme innerhalb derselben großen Klasse. Genauer gesagt: Seien T, T' zwei geschlossene positive (1,1)-Ströme in derselben Klasse, wobei T' weniger singulär als T ist. Wir geben eine obere Schranke für die Differenz der Lelong-Zahlen von T und T' an, ausgedrückt durch die Differenz der nicht-pluripolaren Massen von T' und T. Abschließend stellen wir im sechsten Kapitel eine Methode zur Definition der Lelong-Zahl nicht-pluripolarer (m,m)-Kohomologieklassen auf einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit vor. Wir vergleichen die Cup-Produkte und die relativen nicht-pluripolaren Produkte. Es stellt sich heraus, dass zwei Produkte stets verschieden sind, falls die Lelong-Zahl der nicht-pluripolaren Kohomologieklasse von null verschieden ist. Als Anwendung präsentieren wir eine höherdimensionale Version der Zariski-Zerlegung.

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