Transfermatrix-DMRG for dynamics of stochastic models and thermodynamics of fermionic models

Kemper, Andreas (2003). Transfermatrix-DMRG for dynamics of stochastic models and thermodynamics of fermionic models. PhD thesis, Universität zu Köln. Open Access

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Abstract

The present work applies a numerical method, namely the transfer-matrix density-matrix renormalization group (TMRG), to two seemingly different types of models. In a first part the TMRG is used to investigate the thermodynamics of one-dimensional fermionic models. A second part deals with a novel TMRG method for one-dimensional stochastic models, whose development is an integral part of the thesis. First, the traditional TMRG algorithm for quantum systems is outlined in its historical context. Two different variants are presented, following works of Xiang et al. and Sirker and Klümper, respectively. The basic idea of the method is to map the thermodynamics of a one-dimensional quantum model by Trotter-Suzuki decomposition onto a two-dimensional statistical one. The latter is then solved by a transfer-matrix approach combined with the iterative numerical procedure of White's density-matrix renormalization-group (DMRG) algorithm. Thereby precise computations of various thermodynamic properties, such as thermodynamic potentials, susceptibilities, thermal expectation values and correlation functions are possible. As the first part of the thesis deals with fermionic models, we next review some basics about the theory of strongly correlated fermions in one dimension. Thereupon we elucidate the so-called Hirsch model, which recently gained a lot of theoretic interest in respect to high-temperature superconductivity. It extends the well-studied Hubbard model by an off-diagonal bond-charge interaction term. The current state of research is briefly summarized and mainly refers to ground state properties. Showing numerical TMRG results we then investigate and discuss the almost unknown thermodynamics of the Hirsch model. Various phases are identified and characterized in terms of Tomonaga-Luttinger and Luther-Emery liquid properties, in accordance with previous studies of the ground state. As an important result, superconducting singlet-pair correlation lenths are observed to dominate the physics at finite temperatures in a certain spin-gaped phase. Subsequent to our thermodynamic studies, we turn to the second part of the thesis and outline some theoretic basics of stochastic models. Most notably is the important formal analogy of the master equation, that describes the dynamics of the model, to a Schrödinger equation in imaginary time. This analogy is used to construct a stochastic TMRG algorithm almost similar to the quantum case, that facilitates the computation of dynamic properties, e.g. the local density of particles. We intensively focus on interesting mathematical properties of the stochastic transfer-matrix. As an astonishing result it is found, that the temporal evolution of the non-equilibrium process is reflected by a certain causal structure of the stochastic TMRG. But even if this new approach seems to be promising at first glance, severe numerical problems limit significantly its practical use. In order to solve these instabilities we propose a completely new variant of the algorithm, which we call stochastic light-cone corner-transfermatrix DMRG (LCTMRG). As suggested by its name, the LCTMRG makes use of the causal structure mentioned above and combines it with the stochastic TMRG algorithm. Applications of the LCTMRG onto various reaction-diffusion models verify highly precise numerical data and a great improve compared to the old algorithm by several orders of magnitude. Additionally it is stressed, that the newly proposed analysis tool provides some considerable advantages to common simulation techniques.

Item Type:

Thesis (PhD thesis)

Translated title:

Title	Language
Transfermatrix-DMRG für Dynamik stochastischer Modelle und Thermodynamik fermionischer Modelle	German

Translated abstract:

Abstract

Language

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Anwendung einer numerischen Methode, der Transfermatrix-Dichtematrix Renormierungsgruppe (TMRG), auf zwei auf den ersten Blick unterschiedliche Modellklassen. In einem ersten Teil wird die TMRG zur Untersuchung der Thermodynamik eindimensionaler Fermionenmodelle genutzt. Ein zweiter Teil befasst sich mit einer neuartigen TMRG Methode für eindimensionale stochastische Modelle, deren Entwicklung integraler Bestandteil dieser Arbeit ist. Zunächst wird der traditionelle TMRG Algorithmus in historischem Kontext skizziert. Zwei verschiedene Varianten werden vorgestellt, anknüpfend an die Arbeiten von Xiang et al. bzw. Sirker und Klümper. Grundlegende Idee der Methode ist, die Thermodynamik eines eindimensionalen Quantensystems durch Trotter-Suzuki Zerlegung auf ein zweidimensionales statistisches Modell abzubilden. Letzteres wird dann anhand eines Transfermatrix-Zugangs in Kombination mit dem iterativen Verfahren der White'schen Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG) numerisch gelöst. So sind hoch genaue Berechnungen verschiedener thermodynamischer Eigenschaften möglich, wie z.B. thermodynamische Potentiale, Suszeptibilitäten, thermische Erwartungswerte und Korrelationsfunktionen. Da sich der erste Teil der Arbeit mit Fermionensystemen befasst, werden zunächst einige Grundlagen zur Theorie stark korrelierter Fermionen in einer Dimension zusammengefasst. Daraufhin erläutern wir das sogenannte Hirsch-Modell, welches gerade in letzter Zeit in Hinblick auf Hochtemperatur-Supraleitung großes theoretisches Interesse erlangt hat. Es erweitert das vielseitig bekannte Hubbard-Modell um einen nicht-diagonalen bond-charge Wechselwirkungsterm. Der aktuelle Stand der Forschung ist kurz zusammengefasst und beschränkt sich im wesentlichen auf Grundzustandseigenschaften. Anhand numerischer TMRG Ergebnisse untersuchen und diskutieren wir daraufhin die weitgehend unbekannte Thermodynamik des Hirsch-Modells. Verschiedene Phasen konnten identifiziert und durch Tomonaga-Luttinger und Luther-Emery Flüssigkeitstheorie charakterisiert werden, in Übereinstimmung mit früheren Arbeiten zum Grundzustand. Als ein wichtiges Ergebnis beobachten wir die Dominanz supraleitender Singlett-Paar-Korrelationslängen in einer Phase mit Spin-Anregungslücke. Im Anschluss an die thermodynamischen Studien wenden wir uns dem zweiten Teil dieser Arbeit zu und geben einen Überblick über einige theoretischen Grundlagen stochastischer Modelle. Zu nennen ist vor allem die wichtige formale Analogie der Mastergleichung, die die dynamische Entwicklung des Modells beschreibt, zu einer Schrödinger-Gleichung in imaginärer Zeit. Diese Analogie wird genutzt um einen stochastischen TMRG Algorithmus ähnlich zu dem für Quantensysteme zu konstruieren, der die Berechnung dynamischer Eigenschaften erlaubt, wie z.B. der lokalen Teilchendichte. Wir beleuchten detailliert die interessante mathematische Struktur der stochastischen Transfermatrix. Als erstaunliches Ergebnis stellt sich heraus, dass sich die zeitabhängige Natur des Nichtgleichgewicht-Prozesses in einer gewissen kausalen Struktur der stochastischen TMRG äußert. Aber obwohl dieser neue Zugang auf den ersten Blick vielversprechend erscheint, schränken schwerwiegende numerische Probleme dessen praktische Nutzbarkeit erheblich ein. Um diese Instabilitäten zu lösen, schlagen wir eine völlig neue Variante des Algorithmus vor, die wir stochastische Lichtkegel CTMRG nennen (LCTMRG). Wie bereits aus der Bezeichnung ersichtlich ist, nutzt die LCTMRG die oben genannte kausale Struktur und kombiniert sie mit dem stochastischen TMRG Algorithmus. Anwendungen der LCTMRG auf verschiedene Reaktions-Diffusions-Prozesse bestätigen hoch präzise numerische Ergebnisse und eine entscheidende Verbesserung des alten Algorithmus. Darüber hinaus wird betont, dass die neu vorgeschlagene Analysemethode einige bedeutende Vorteile gegenüber üblichen Simulationsverfahren bietet.

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