Transformationen zur Vermeidung numerischer Dispersion und Verfahren zur Steuerung der Zeitschrittweite für die numerische Optionsbewertung

Int-Veen, Rainer (2005). Transformationen zur Vermeidung numerischer Dispersion und Verfahren zur Steuerung der Zeitschrittweite für die numerische Optionsbewertung. PhD thesis, Universität zu Köln. Open Access

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Abstract

Die numerische Bewertung amerikanischer Optionen erfordert die Lösung eines linearen Komplementaritätsproblems, dessen Bestandteil die Black-Scholes (Un)gleichung ist. Finite-Differenzen-Diskretisierungen dieser partiellen Differentialgleichung (PDE) können numerische Dispersion erzeugen. Die daraus resultierenden Oszillationen machen ein Hedging der Option unmöglich. Durch geeignete Transformationen ist es möglich, numerische Dispersion zu vermeiden. Diese Arbeit analysiert die Dispersions-Eigenschaften bekannter und neuer Transformationen der Black-Scholes PDE. Für dispersionsfreie Transformationen wird das Problem in eine zeitabhängige Folge von Linearen Programmen überführt. Aufgrund der vorzeitigen Ausübungsmöglichkeit ist für jeden dieser Zeitschritte eine Glättung der numerischen Lösung mittels L-stabiler Diskretisierungsverfahren notwendig. Um den numerischen Aufwand gering zu halten werden verschiedene Verfahren vorgestellt, die die Anzahl der notwendigen Zeitschritte reduzieren. Der Knackpunkt ist dabei der zeitlichen Verlauf der Lösung der PDE. Die Black-Scholes PDE ist eine Verwandte der Wärmeleitungsgleichung und zeigt ein qualitativ ähnliches Verhalten. Es stellt sich heraus, das diese Schrittweitensteuerung effektiv arbeitet. Trotz der teureren Verwendung einer alternativen Lösung wird ein Speed-up zu den bisher gebräuchlichen Verfahren erreicht. Allerdings steckt der Aufwand nun hauptsächlich im Auffinden der Ausübungsgrenze. Die gefundenen Methoden lassen sich auf einige exotische Optionstypen übertragen.

Item Type:

Thesis (PhD thesis)

Translated abstract:

Abstract

Language

The numerical valuation of American Options requires the solution of a linear complementary problem, whose component is the Black-Scholes (in)equality. Finite difference discretisations of this partial differential equation (PDE) may introduce numerical dispersion. The resulting oscillations make it impossible to hedge the option. By the use of adequate transformations it is possible to avoid numerical dispersion. This thesis analyses dispersion properties of both known and new transformations of the Black-Scholes PDE. By applying transformations without dispersion, the problem is transmuted into a time-dependent sequence of linear programs. Due to the early exercise feature smoothing of the numerical solution by L-stable methods is necessary in each timestep. Different methods, which reduce the number of necessary timesteps were introduced in order to keep the numerical effort small. The crux thereby is the time dependent behaviour of the PDE. The Black-Scholes PDE is related to the heat-equation and shows the same qualitative behaviour. It turns out that this time-stepping procedure works well. In spite of calculating an expensive alternative solution, a speed-up compared to methods which were formerly used is achieved. But most effort is now put into finding the early exercise curve. It is possible to transfer the developed methods to some exotic options.

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