Universität zu Köln

Weiß, Daniel (2007). Allgemeine lineare Verfahren für Differential-Algebraische Gleichungen mit Index 2. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

Viele Prozesse der Physik, Chemie und der Ingenieurwissenschaften können durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden, wobei die mathematische Beschreibung dieser Prozesse oft auch algebraische Gleichungen liefert. Diese Gleichungen sind zum Beispiel durch die Kirchhoffschen Gesetze, bestimmte Erhaltungsgrößen wie Volumen oder Energie und geometrische und kinetische Nebenbedingungen gegeben. Dies führt zu den so genannten Differential-Algebraischen Gleichungen (DAEs). Insbesondere durch die verstärkte Simulation dieser Prozesse entstand großes Interesse an DAEs und deren numerischer Behandlung. Im Vordergrund stehen dabei die Simulationen von so genannten Mehrkörpersystemen, wie sie zum Beispiel in der Fahrzeugtechnik und der Robotik auftreten, und von elektrischen Schaltkreisen bei der Chipentwicklung. Allgemeine lineare Verfahren wurden bereits Mitte der 60ziger Jahre des letzten Jahrhunderts als Verallgemeinerung der klassischen Verfahren, insbesondere der Runge-Kutta Verfahren und der linearen Mehrschrittverfahren, eingeführt. Dieses Konzept ermöglicht zum einen eine einheitliche theoretische Untersuchung der klassischen Verfahren und zum anderen die Herleitung neuer numerischer Methoden. Bis heute werden allgemeine lineare Verfahren auch für steife Differentialgleichungen entwickelt, die auch auf Differential-Algebraische Gleichungen angewendet werden können. In der vorliegenden Arbeit werden zunächst gewisse grundlegende Aussagen über DAEs und allgemeine lineare Verfahren wiederholt. Anschließend wird die formale Anwendung allgemeiner linearer Verfahren auf DAEs diskutiert. Dabei stellt sich heraus, dass der Störungsindex einer impliziten DAE als Maß der numerischen Schwierigkeiten, welche bei der Berechnung einer Näherungslösung auftreten, irreführend sein kann. Tatsächlich sollte der Störungsindex eines entsprechend augmentierten Systems als dieses Maß betrachtet werden. Zudem werden allgemeine lineare Verfahren für Index-2 DAEs in Hessenberg Form ausführlich analysiert. Dabei liegt der Schwerpunkt bei der Beantwortung der klassischen Fragen der Numerischen Analysis an die Stabilität, Konsistenz und Konvergenz des Verfahrens. Des Weiteren wird eine Übertragung der Konvergenzresultate auf spezielle semi-explizite Index-2 DAEs durchgeführt. Abschließend sind einige Aspekte der Implementierung solcher Verfahren beschrieben und numerische Berechnungen an Beispielen präsentiert.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language General linear Methods for Differential-Algebraic Equations of Index 2 English
Translated abstract:	Abstract Language The dynamic behaviour of various applications of physics, chemistry and science of engineering could be modelled by differential equations, while the mathematical description of these dynamics often includes algebraic equations. These equations are due to Kirchhoff's laws, certain conservation laws, i.e., conservation of volume or energy, and geometrical and kinematic constraints. This leads to Differential-Algebraic Equations (DAEs). Especially the simulation of these dynamics rose greater interest on DAEs and their numerical treatment. These are mainly simulations of multibody systems, for example of vehicle systems and robotics, and simulations of electrical circuits. General Linear Methods (GLMs) were introduced as a generalization of the classical methods in particular of Runge-Kutta and linear multi-step methods in the sixties of the last century. They provide a unifying framework of classical methods and offer the possibility of developing new methods. Until now general linear methods also for stiff differential equations are derived, which could be applied to differential-algebraic equations. In this thesis certain basic statements on DAEs and general linear methods are repeated at first. Then the formal application of general linear methods to DAEs is discussed. It turns out, that the perturbation index is sometimes not the right measure for the difficulties, which occur by the computation of an approximation. Actually the perturbation index of a certain augmented system should be interpreted as this measure. In addition general linear methods for Index-2 DAEs in Hessenberg form are analyzed in detail. The classical questions of the Numerical Analysis of stability, consistency and convergence are answered. Moreover the results of convergence are formulated for certain semi-explicit Index-2 DAEs. Finally some aspects of the implementation of these Methods are described and numerical computations are presented. English
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Weiß, Daniel dweiss@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-20195
Date:	2007
Language:	German
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Allgemeine lineare Verfahren , Differential-Algebraische Gleichungen , Index-2 DAEs in Hessenberg-Form , Typ-2 DIMSIMs , mechanische Mehrkörpersysteme German General linear Methods , Differential-Algebraic Equations , Index-2 DAEs in Hessenberg-Form , Type-2 DIMSIMs , Multibody Systems English
Date of oral exam:	27 February 2007
Referee:	Name Academic Title Schropp, Johannes Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/2019