Universität zu Köln

Stein, Oliver (2007). Hecke-Operatoren und vektorwertige Modulformen zur Weildarstellung. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In der Theorie der Modulformen sind Hecke-Operatoren von fundamentaler Bedeutung. Sie ermöglichen Aussagen über arithmetische Eigenschaften der Fourierkoeffizienten einer Modulform. Modulformen kann man auf verschiedene Weisen eine L-Reihe zuordnen. Hecke-Operatoren sind ein wichtiges Hilfsmittel bei deren Definition. Mit ihrer Hilfe kann man wichtige Eigenschaften dieser L-Reihe zeigen. Unter anderem über die zugeordnete L-Reihe erhalten Modulformen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie. Vektorwertige Modulformen zur Weildarstellung eines Gitters sind eine weitgehende Verallgemeinerung der üblichen skalarwertigen elliptischen Modulformen. Sie sind ein bedeutender Bestandteil in der Theorie der Borcherdsprodukte. Sie ermöglichen die elegante Beschreibung der Fourierentwicklung verschiedener Theta-Lifts, die R. Borcherds konstruiert hat. Viele aktuelle Arbeiten sind im Zusammenhang mit dieser Theorie erschienen, in denen vektorwertige Modulformen zur Weildarstellung eine wichtige Rolle spielen. In der vorliegenden Arbeit wird eine Aktion der Hecke-Algebra auf derartigen Modulformen definiert. Dies ermöglicht die Definition von Hecke-Operatoren. Es werden grundlegende Eigenschaften der Algebra dieser Operatoren untersucht. Insbesondere wird studiert, wie die Hecke-Operatoren auf den Fourierkoeffizienten einer Modulform operieren.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Hecke operators and vector valued modular forms for the Weil representation English
Translated abstract:	Abstract Language Hecke operators are a fundamental tool in the study of modular forms. They can be used to obtain information on the arithmetic nature of the Fourier coefficients of a modular form. They are vital for the definition of L-functions associated to modular forms. Using Hecke operators one can show some important properties of these L-functions. Modular forms and their L-functions play an important role in number theory. Vector valued modular forms associated with the Weil representation are a far reaching generalization of the classical elliptic modular forms. They are essential for the theory of Borcherds products. Borcherds uses them to provide an elegant description of the Fourier expansion of various theta liftings. There are many recent works dealing with Borcherds products which focus on vector valued modular forms associated with the Weil representation. In this thesis we define an action of the Hecke algebra for these modular forms. This action allows the definition of Hecke operators. We discuss some fundamental properties of the algebra of Hecke operators. Moreover we compute the action of these operators on the Fourier coefficients of a modular form. English
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Stein, Oliver ostein@math.uni-koeln.de / 0176-20618415 UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-21882
Date:	2007
Language:	German
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Hecke Operatoren, vektorwertige Modulformen, Weil Darstellung German Hecke operators, vector valued modular forms, Weil representation English
Date of oral exam:	22 October 2007
Referee:	Name Academic Title Bruinier, Jan Hendrik Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/2188