Universität zu Köln

Scheer, Natalie (2011). Optimal stochastic control of dividends and capital injections. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In this thesis, we consider optimisation problems of an insurance company whose risk reserve process follows the settings of the classical risk model. The insurer has the possibility to control its surplus process by paying dividends to the shareholders. Furthermore, the shareholders are allowed to make capital injections such that the surplus process stays nonnegative. A control strategy describes the decision on the times and the amount of the dividend payments and the capital injections. To measure the risk associated with a control strategy, we consider the value of the expected discounted dividends minus the penalised expected discounted capital injections. Because of the discounting, it can only be optimal to make capital injections at times when the reserve would become negative due to a claim occurrence. Our goal is to determine the value function, which is defined as the maximal value over all proper strategies, and to find an optimal strategy which leads to this maximal value. First, we solve the optimisation problem for the classical risk model when the capital injections are penalised by some proportional factor greater than one. We show that an optimal strategy exists and is of barrier type, i.e., all the surplus exceeding some barrier level is paid as dividend. In the second part, we extend this model by adding fixed costs incurring any time at which capital injections are made. The optimal strategy here is not of barrier type any more, but of band type. That is a strategy where the state space of the surplus process is partitioned into three types of sets where either dividends at the premium rate, or lump sum dividends, or no dividends at all are paid. In the third part, we allow the dynamics of the surplus process to depend on environmental conditions which are modelled by a Markov process. I.e., the frequency of the claim arrivals and the distribution of the claim amounts vary over time depending on the state of the environment process. We again maximise the difference between the expected discounted dividends and the (proportional) penalised capital injections and show that the optimal strategy for any fixed initial environment state is of barrier type with a barrier depending on the initial state.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Optimale stochastische Kontrolle von Dividenden und Kapitalzuschüssen German
Translated abstract:	Abstract Language In dieser Dissertation werden Optimierungsprobleme eines Versicherungsunternehmens betrachtet, dessen Überschussprozess mit einem klassischen Risikomodell beschrieben wird. Der Versicherer hat die Möglichkeit, seinen Überschussprozess durch Zahlung von Dividenden zu kontrollieren. Ausserdem dürfen die Anteilseigner Kapitalzuschüsse tätigen, damit der Überschuss nichtnegativ bleibt. Eine Kontrollstrategie enthält Entscheidungen über die Zeiten und die Höhen von Dividendenzahlungen und Kapitalzuschüssen. Um das mit einer Kontrollstrategie verbundene Risiko zu messen, betrachten wir den Wert der erwarteten diskontierten Dividenden abzüglich der erwarteten diskontierten Kapitalzuschüsse inkl. der dabei anfallenden Kosten. Wegen der Diskontierung kann es nur optimal sein, Kapitalzuschüsse zu den Zeitpunkten zu tätigen, an denen das Reservekapital aufgrund eines Schadens negativ wird. Unser Ziel ist es, die Wertefunktion zu bestimmen, die als maximaler Wert über alle geeigneten Strategien definiert ist, und eine optimale Strategie zu finden, die zu diesem maximalen Wert führt. Zuerst lösen wir das Optimierungsproblem für das klassische Risikomodell für den Fall, dass zusätzlich zu den Kapitalzuschüssen proportionale Kosten eingerechnet werden. Wir zeigen, dass eine optimale Strategie existiert und vom Barrieretyp ist, d.h. der ganze Überschuss, der ein bestimmtes Barrierenniveau überschreitet, wird als Dividende ausgezahlt. Im zweiten Teil der Arbeit erweitern wir das Modell durch Hinzunahme von Fixkosten, die in den Zeiten entstehen, zu denen Kapitalzuschüsse erfolgen. Die optimale Strategie ist hier nicht mehr vom Barrieretyp, sondern vom Bandtyp. Es handelt sich also um eine Strategie, bei der der Zustandsraum des Überschussprozesses in drei Mengen unterteilt ist, in denen entweder Dividenden zur Prämienrate, eine Pauschalsumme oder keine Dividenden gezahlt werden. Im dritten Teil lassen wir die Entwicklung des Überschussprozesses von Umweltbedingungen abhängen, die durch einen Markov-Prozess modelliert werden. Das bedeutet, dass die Schadensfrequenz und die Verteilung der Schadenshöhen in Abhängigkeit vom Zustand des Umweltprozesses in der Zeit variieren. Wir maximieren wieder die Differenz der erwarteten diskontierten Dividenden und der Kapitalzuschüsse inkl. proportionaler Kosten und zeigen, dass die optimale Strategie für jeden anfänglichen Umweltzustand eine Barrierenstrategie mit einer von diesem Zustand abhängigen Barriere ist. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Scheer, Natalie nscheer@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-42648
Date:	March 2011
Language:	German
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language optimal control, Hamilton-Jacobi-Bellman equation, dividends, capital injections, classical risk model, Markov-modulated risk model English optimale Kontrolle, Hamilton-Jacobi-Bellman Gleichung, Dividenden, Kapitalzuschüsse, klassisches Risikomodell, Markov-moduliertes Risikomodell German
Date of oral exam:	25 May 2011
Referee:	Name Academic Title Schmidli, Hanspeter Prof. Dr. Dr. Steinebach, Josef Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/4264