Universität zu Köln

Mücke, Mike Heinrich Richard (2014). Prehomogeneous Super Vector Spaces. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In this thesis, we develop the theory of prehomogeneous super vector spaces. In the case that $G$ is a complex connected Lie supergroup, acting linearly on a super vector space $V$ and if $G$ has an open orbit in $V$ then this orbit, as an open sub supermanifold, is unique, connected and dense. This allows us to define prehomogeneous super vector spaces. We introduce the notion of relative superinvariants and show that the relative superinvariants are already determined by the supercharacters which are invariant under the isotropy supergroup. Furthermore, we construct two examples of prehomogeneous super vector spaces. The supercharacters of the general linear supergroup will be classified and thereby all relative superinvariants for the space of supersymmetric matrices. We introduce the local zeta superfunction for the prehomogeneous super vector space of supersymmetric matrices and prove that these are entire functions. Moreover, for a compactly supported superfunction $\Phi_c$ on a connected component $V_{ij}$ of the orbit the local zeta superfunction \[ F_{ij}(s,\Phi_{c})=\frac{1}{\gamma(s)}\int_{V_{ij}} |D(X)|\ |\mathrm{Ber}(X)|^s\ \Phi_{c}(X),\\ \] is a regularization of the integral on the right-hand side to the greater space of Schwartz superfunctions. These are defined on the associated $cs$-vector space. Unlike the regularization methods of Marcel Riesz and Hadamard, where homogeneous distributions lose their homogeneity, this regularization method, already used by Gelfand and Sato, maintains the algebraic property of relative superinvariant. Moreover, we demonstrate that the Fourier supertransform is, up to a supercharacter, an equivariant map for the induced action on the super vector space of Schwartz superfunctions. We also prove that the Fourier supertransform of the dual local zeta superfunctions transforms with the same supercharacter as the local zeta superfunction, shifted in the complex parameter.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Prähomogene Supervektorräume German
Translated abstract:	Abstract Language In dieser Arbeit entwickeln wir die Theorie der prähomogenen Supervektorräume. Für den Fall, dass $G$ eine komplexe und zusammenhängende Lie Supergruppe ist, die linear auf dem Supervektorraum $V$ wirkt und einen offen Orbit in $V$ hat, beweisen wir, dass dieser Orbit dann, als eine offene Untersupermannigfaltigkeit betrachtet, eindeutig, zusammenhängend und dicht ist. Dies erlaubt uns prähomogene Supervektorräume zu definieren. Wir führen den Begriff der relativen Superinvarianten ein und können zeigen, dass die relativen Superinvarianten durch die Supercharaktere bestimmt sind, die unter der Isotropiesupergruppe invariant bleiben. Darüber hinaus konstruieren wir zwei Beispiele für einen prä\-homogenen Supervektorraum und sind in der Lage alle Supercharaktere der allgemeinen linearen Supergruppe anzugeben. Dies ermöglicht alle relativen Superinvarianten der supersymmetrischen Matrizen zu bestimmen. Wir führen die lokalen Zeta Superfunktionen für den prä\-homogenen Supervektorraum der supersymmetrischen Matrizen ein und beweisen, dass diese ganze Funktionen sind. Außerdem ist die lokale Zeta Superfunktion für kompakt getragene Superfunktionen auf einer Zusammenhangskomponente $V_{ij}$ des Orbits \[ F_{i,j}(s,\Phi_{c})=\frac{1}{\gamma(s)}\int_{V_{ij}} |D(X)|\ |\mathrm{Ber}(X)|^s\ \Phi_{c}(X),\\ \] eine Regularisierung des Integral auf der rechten Seite auf den größeren Raum der Schwartz Superfunktionen. Diese sind auf dem zugehörigen $cs$ Vektorraum definiert. Anders als die Regularisierungsmethode von Marcel Riesz und Hadamard, bei der homogene Distributionen ihre Homogenitäts\-eigenschaft verlieren, erhält diese schon von Gelfand und Sato verwendete Regularisierungsmethode die algebraischen Eigenschaften der relativen Superinvarianten. Es wird gezeigt, dass die Fourier Supertransformierte bis auf einen Supercharakter eine äquivariante Abbildung für die induzierte Wirkung auf dem Supervektorraum der Schwartz Superfunktionen ist. Wir beweisen auch, dass die Fourier Supertransformierte der dualen lokalen Zeta Superfunktion sich mit dem gleichen Supercharakter transformiert wie die lokale Zeta Superfunktion, geshiftet im komplexen Parameter. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Mücke, Mike Heinrich Richard mueckem@gmx.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-54617
Date:	20 January 2014
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Prehomogeneous Vector Spaces, Homogeneous Super Distributions, Regularisation, Fourier Super Transformation English Prähomogene Vektorräume, Homogene Super Distributionen, Regularisierung, Fourier Super Transformation German
Date of oral exam:	16 January 2014
Referee:	Name Academic Title Alldridge, Alexander PD Dr. Littelmann, Peter Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/5461