Universität zu Köln

Schmittner, Sebastian E. (2010). Field theory of disordered bosons. Masters thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

The goal of this diploma thesis is to develop a field theory, for a specific class of disordered bosonic systems, in order to study, whether disordered bosons generically have universal statistical properties, similar to fermions. Now, if disordered bosons show system independent statistical features, the evident question is whether the bosonic universality classes are different from the fermionic ones. For fermions, the classification in terms of symmetric spaces is a largely algebraical one, which happens in a complexified setting before compact or non-compact real forms are specified. Hence one can rightly state that all effective bosonic non-linear σ-models are already classified within the ten fold way together with the fermionic ones. And indeed, in the system studied in [LSZ06], well known universal GUE statistics were found in the bulk and Lück finds GOE statistics in [Lü09], both for systems of disordered bosons. But for bosons non-linear σ-models are not everything. A subtle point about noninteracting, i.e. quadratic, bosonic systems is stability. One single particle state of negative energy for a bosonic system immediately leads to an unbounded many particle Hamiltonian. For fermionic systems, a finite number of such single particle states is of no concern, due to the Pauli principle. This important difference leads to the well studied Gaussian ensembles not providing feasible distributions of bosonic Hamiltonians. If, however, more complicated probability distributions are taken into account, one has to be prepared to face a more complicated effective model than a pure non-linear σ-model in the end. In this sense, an interesting question is whether bosonic systems if they show universal behaviour lead to novel universality classes. A hint to those might be the unusual density of states near zero energy that was found in [LSZ06] or [GC02] and [GA04]. On physical grounds, one can expect the commutation relations of bosons to have important effects at low frequencies, which fits to the observations of [GC02] and [GA05]. In this thesis, we will develop and study a specific model, which is the next step after the work of Lück, Sommers and Zirnbauer, [LSZ06], towards a more realistic description of a disordered system of bosonic degrees of freedom. As in [LSZ06], our model is still purely random, i.e. there is no limit of an underlying pure system and we also stay with a model without global symmetries, such as time reversal or charge conjugation. But we turn from the homogeneous, zero-dimensional model to a spatially extended one and implement the physically important feature of locality. Furthermore, we add an additional parameter to tune the number of modes per volume. In particular we can hereby enforce a macroscopical number of zero modes. The goal is to study the density of states of the new model and therefore to develop an effective field theory. Throughout we will pay special attention to the region near zero frequency and watch out for unusual, possibly universal features.

Item Type:	Thesis (Masters thesis)
Translated title:	Title Language Feldtheorie ungeordneter Bosonen German
Translated abstract:	Abstract Language Das Ziel dieser Arbeit ist es eine Feldtheorie für eine bestimmte Klasse ungeordneter bosonischer Systeme zu entwickeln und zu untersuchen, ob bosonische ungeordnete Systeme universelle Eigenschaften haben, wie das bei fermionischen Systemen der Fall ist. Falls bosonische Systeme nun universelle Eigenschaften zeigen stellt sich die Fra- ge, ob diese in ähnlicher Art wie die fermionischen klassifiziert werden können und ob sie sich sogar in die schon bekannten Symmetrieklassen einfügen, oder ob es zur Beschreibung bosonischer Systeme neuer Symmetrieklassen bedarf. Da die Klassifizie- rung fermionischer Systeme mittels symmetrischer Räume im wesentlichen algebraisch ist könnte man nun annehmen, dass der von Zirnbauer u.a. beschriebene ‘ten fold way’ auch die bosonischen Systeme mit einschließt. In der Tat wurde in [LSZ06] gezeigt, dass die n-Punkt Funktionen für das Modell auf dem diese Arbeit aufbaut, gerade die des gausschen unitären Ensembles sind. In [Lü09] wurden Charakteristika des ortho- gonalen Ensembles beobachtet. Im allgemeinen muss man aber davon ausgehen, dass Systeme ungeordneter Boso- nen nicht ohne weiteres auf reine nicht lineare σ-Modelle abgebildet werden können. Ein wichtiger Punkt hierbei ist Stabilität des Grundzustandes um den entwickelt wird. Hat der zugrundeliegende Einteilchen-Hamiltonoperator auch nur einen negativen Ei- genwert, so ist das Spektrum des Vielteilchen-Operators unweigerlich nach unten hin unbeschränkt, da kein Pauli-Prinzip wie bei Fermionen den Besetzungszahloperator beschränkt. Daher eignen sich gaussche Ensemble mit unabhängig identisch verteilten Matrixeinträgen des Hamiltonians grundsätzlich nicht zur Beschreibung bosonischer Probleme. Daher ist die Frage nach neuen Universalitätsklassen nicht eine Frage nach möglichen neuen Zielräumen für nicht lineare σ-Modelle. Diese sind vollständig klas- sifiziert. Vielmehr lautet die Frage, ob und wie die Klasse der effektiven Feldtheorien erweitert werden muss. Hinweise auf solche neuen Klassen könnten die ungewöhnliche Zustandsdichten sein, die in [LSZ06] oder auch [GC02] und [GA04] gefunden wurden. Falls solche neuen Klassen zu neuartigen universellen Wahrscheinlichverteilungen füh- ren, so sollten diese am ehesten bei niedrigen Energien zu beobachten sein, was zu den Beobachtungen in [GC02] und [GA05] passen würde. In dieser Arbeit wird ein spezielles Modell ungeordneter Bosonen entwickelt und un- tersucht werden, dass eine Weiterentwicklung des von Lück, Sommers und Zirnbauer, [LSZ06], gelösten Problems darstellt. Das hier betrachtete Modell ist weiterhin rein zufällig, d.h. es gibt keinen Grenzfall eines deterministischen Systems. In diesem Sinne könnte man von einem Grenzwert unendlich starker Unordnung sprechen. Weiterhin werden nach wie vor keine globalen Symmetrien, wie etwa Zeitumkehrsymmetrie, be- trachtet. Aber das neue Modell ist in so fern realistischer, als das nun räumliche Aus- dehnung in Betracht gezogen wird und der Hamiltonoperator nur lokal wirkt. Weiterhin gibt es in unserem Modell einen zusätzlichen Parameter, d.h. wir erweitern die Fami- lie der Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Physikalisch bedeutet dies insbesondere, dass Modelle mit einer makroskopischen Anzahl an Nullmoden in Betracht gezogen werden können. Das Ziel ist es, ein effektives Modell zur Beschreibung der Zustandsdichte zu entwickeln und insbesondere auf möglicherweise neuartige statistische Eigenschaften im Sinne der oben gestellten Universalitätsfrage zu untersuchen. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Schmittner, Sebastian E. sebastian.schmittner@uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
Contributors:	Contribution Name Email Scientific advisor Zirnbauer, Martin zirn@thp.uni-koeln.de
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-59472
Date:	November 2010
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Physics > Institute for Theoretical Physics
Subjects:	Physics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language condensed matter, mathematical physics, super symmetry, disordered systems, bosons, random matrix theory, coherent potential approximation, saddle point method, density of states, non-linear sigma-modell, universality English
Date of oral exam:	November 2010
Referee:	Name Academic Title Zirnbauer, Martin Prof. Dr.
Related URLs:	Author/Lecturer/Editor
Funders:	Bonn-Cologne Graduate School of Physics and Astronomy, DFG via SFB|TR12
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Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/5947