Universität zu Köln

Torgovitski, Leonid (2016). Hilbert Space Valued Signal Plus Noise Models: Analysis of Structural Breaks under High Dimensionality and Temporal Dependence. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

This thesis is concerned with change point analysis for time series, i.e. with detection of structural breaks in time-ordered, random data. This long-standing research field regained popularity over the last few years and is still undergoing, as statistical analysis in general, a transformation to high-dimensional problems. We focus on the fundamental »change in the mean« problem and provide extensions of the classical non-parametric Darling-Erdős-type cumulative sum (CUSUM) testing and estimation theory within highdimensional Hilbert space settings. In the first part we contribute to (long run) principal component based testing methods for Hilbert space valued time series under a rather broad (abrupt, epidemic, gradual, multiple) change setting and under dependence. For the dependence structure we consider either traditional m-dependence assumptions or more recently developed m-approximability conditions which cover, e.g., MA, AR and ARCH models. We derive Gumbel and Brownian bridge type approximations of the distribution of the test statistic under the null hypothesis of no change and consistency conditions under the alternative. A new formulation of the test statistic using projections on subspaces allows us to simplify the standard proof techniques and to weaken common assumptions on the covariance structure. Furthermore, we propose to adjust the principal components by an implicit estimation of a (possible) change direction. This approach adds flexibility to projection based methods, weakens typical technical conditions and provides better consistency properties under the alternative. In the second part we contribute to estimation methods for common changes in the means of panels of Hilbert space valued time series. We analyze weighted CUSUM estimates within a recently proposed »high-dimensional low sample size (HDLSS)« framework, where the sample size is fixed but the number of panels increases. We derive sharp conditions on »pointwise asymptotic accuracy« or »uniform asymptotic accuracy« of those estimates in terms of the weighting function. Particularly, we prove that a covariance-based correction of Darling-Erdős-type CUSUM estimates is required to guarantee uniform asymptotic accuracy under moderate dependence conditions within panels and that these conditions are fulfilled, e.g., by any MA(1) time series. As a counterexample we show that for AR(1) time series, close to the non-stationary case, the dependence is too strong and uniform asymptotic accuracy cannot be ensured. Finally, we conduct simulations to demonstrate that our results are practically applicable and that our methodological suggestions are advantageous.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Changepoint-Analyse von Zeitreihen, d.h. mit der Aufdeckung von Strukturbrüchen in zeitlich angeordneten Zufallsdaten. Dies ist ein seit langem bestehender Forschungsbereich, welcher in den letzten Jahren an Popularität wiedererlangt hat, und, wie die statistische Analyse im Allgemeinen, eine Transformation hin zu hochdimensionalen Problemstellungen vollzieht. Wir betrachten das grundlegende Problem einer »Änderung des Erwartungswertes« und erweitern die klassische Theorie der nichtparameterischen Cumulative Sum (CUSUM) Test- und Schätzverfahren vom Darling-Erdős-Typ auf hochdimensionale Hilbertraum-Modelle. Im ersten Teil liefern wir Beiträge zu Testverfahren für Hilbertraum-wertige Zeitreihen basierend auf (long run) Hauptkomponenten unter einem breiten Spektrum an Änderungsmodellen (abrupt, epidemisch, graduell, mehrfach) sowie unter Abhängigkeiten. Als Abhängigkeitsstruktur betrachten wir die traditionellen Annahmen der m-Abhängigkeit sowie die neueren Bedingungen der m-Approximierbarkeit, welche insgesamt z.B. die MA-, AR- und ARCH-Modelle abdecken. Unter der Nullhypothese leiten wir Approximationen der Testverteilung sowohl vom Gumbel-Typ als auch mittels Brownscher Brücken her und unter der Alternativhypothese weisen wir Konsistenzbedingungen nach. Eine neue Formulierung der Teststatistik unter Verwendung von Projektionen auf Teilräume ermöglicht uns, die gängige Beweistechnik zu vereinfachen und die üblichen Bedingungen an die Kovarianzstruktur abzuschwächen. Des Weiteren schlagen wir vor, die Hauptkomponenten durch implizite Schätzung der (eventuellen) Änderungsrichtung der Erwartungswerte zu korrigieren. Dieser Ansatz bringt mehr Flexibilität für projektionsbasierte Methoden, ermöglicht es die üblichen technischen Bedingungen abzuschwächen und liefert bessere Konsistenzeigenschaften unter der Alternative. Im zweiten Teil liefern wir Beiträge zu Schätzverfahren für gleichzeitige Änderungen in Erwartungswerten von Paneldaten Hilbertraum-wertiger Zeitreihen. Wir analysieren gewichtete CUSUM Schätzer im einem erst kürzlich vorgeschlagenem »high-dimensional low sample size (HDLSS)« Setting. In diesem bleibt der Stichprobenumfang fix und lediglich die Anzahl der Panels wächst an. Wir leiten scharfe Bedingungen an die »punktweise asymptotische Exaktheit« sowie an die »gleichmäßige asymptotische Exaktheit« der Schätzer in Abhängigkeit von der Gewichtsfunktion her. Insbesondere weisen wir nach, dass eine Kovarianz-basierte Korrektur der Darling-Erdős-Typ CUSUM Schätzer benötigt wird, um gleichmäßige asymptotische Exaktheit unter moderaten Bedingungen an Abhängigkeiten innerhalb einzelner Panels sicherzustellen, und zeigen, dass diese Bedingungen von beliebigen MA(1) Zeitreihen erfüllt werden. Als Gegenbeispiel zeigen wir, dass AR(1) Zeitreihen nahe der Nichtstationarität schon eine zu hohe Abhängigkeit aufweisen und somit eine gleichmäßige asymptotische Exaktheit der Schätzung nicht vorliegen kann. In Simulationen zeigen wir, dass unsere Resultate sowohl praktisch anwendbar sind als auch, dass unsere methodischen Vorschläge vorteilhaft sind. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Torgovitski, Leonid ltorgovi@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-70941
Date:	2016
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	General statistics Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Change point testing, Change point estimation, Structural breaks, CUSUM, Darling–Erdős, Highdimensional time series, Hilbert space valued time series, Functional time series, Panel data, HDLSS, Principal component dimension reduction, LASSO English
Date of oral exam:	31 October 2016
Referee:	Name Academic Title Steinebach, Josef G. Prof. i. R. Dr. Wefelmeyer, Wolfgang Prof. i. R. Dr. Kokoszka, Piotr S. Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/7094