Universität zu Köln

Wintermeyer, Niklas (2018). A novel entropy stable discontinuous Galerkin spectral element method for the shallow water equations on GPUs. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In dieser Arbeit präsentieren wir ein neues Discontinuous Galerkin Spektrale Elemente Verfahren hoher Ordnung zur Approximation der nicht-linearen Flachwassergleichungen auf unstrukturierten, möglicherweise gekrümmten Gittern. Das Verfahren ist so konstruiert, dass es Entropie-stabil ist und die well-balanced Eigenschaft hat. Wir bezeichnen dieses Verfahren mit ESDGSEM. Das Verfahren wird anhand einer spezifischen alternativen Formulierung der Flachwassergleichungen konstruiert. Durch Umformulierung der Diskretisierung der alternativen Formulierung in ein Flux-Differencing Verfahren ist es uns möglich zu zeigen, dass das Verfahren konservativ ist, obwohl es nicht auf den Gleichungen in konservativer Form beruht. Durch Verwendung eines speziellen numerischen Flusses an den Elementkanten können wir außerdem zeigen, dass die Approximation die totale Energie als zusätzliche konservative Variable behandelt. Da die totale Energie eine Entropie-Funktion für die Flachwassergleichungen ist, ist das Verfahren somit Entropie-konservativ. Durch kontrolliertes Hinzufügen von numerischer Dissipation an den Elementkanten können wir garantieren, dass das Verfahren Entropie-stabil ist. Weiterhin zeigen wir, dass das Verfahren für eine spezielle Diskretisierung des Quellterms auch well-balanced ist. Wir führen künstliche Viskosität in das System der Flachwassergleichungen ein, um die Oszillationen im Falle von Schocks zu dämpfen. Außerdem erweitern wir das Entropie-stabile Verfahren um einen Positivitätslimiter, der nicht-negative Wasserhöhen garantiert. Wir zeigen, dass beide Erweiterungen die Entropie-Stabilität des Verfahrens beibehalten. Ebenfalls beweisen wir die Funktionalität des Positivitäts-limiters. Für die in dieser Arbeiten verwendeten Entropie-stabilen numerischen Flussfunktionen war dies zuvor nicht bekannt. Des Weiteren implementieren wir das ESDGSEM unter Verwendung von OCCA auf modernen Grafikkarten. Unsere Untersuchungen ergeben, dass das ESDGSEM hervorragend auf die Architektur moderner Grafikkarten passt. Trotz eines höheren erforderlichen Rechenaufwands im Vergleich zu herkömlichen DG-Verfahren ist für Polynomgrade von N<=7 kein Laufzeitunterschied festzustellen. Mit einer Reihe von numerischen Beispielen verifizieren wir die theoretischen Ergebnisse bezüglich Konvergenz und Konservatität. Außerdem zeigen wir die well-balanced Eigenschaft numerisch und testen die Robustheit des Verfahrens anhand einiger numerisch herausfordernder Tests. Diese beinhalten sowohl starke Schocks als auch Trockenflächen und benötigen somit zwingend die Erweiterungen des Verfahrens. Abschließend verwenden wir das entwickelte Verfahren, um den Tsunami im Indischen Ozean aus dem Jahr 2004 zu simulieren. Unsere Ergebnisse vergleichen wir dabei mit an der Küste Indiens aufgezeichneten Daten und beobachten gute Approximationen für die Ankunftszeiten des Tsunamis.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Wintermeyer, Niklas nwinterm@gmail.com UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-92348
Date:	10 November 2018
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Discontinuous Galerkin UNSPECIFIED Numerische Strömungsmechanik UNSPECIFIED GPU Programmierung UNSPECIFIED
Date of oral exam:	14 January 2019
Referee:	Name Academic Title Gassner, Gregor Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/9234