Chaos on quantum graphs with Andreev scattering - Kölner UniversitätsPublikationsServer

Seif, Burkhard E.R. (2003). Chaos on quantum graphs with Andreev scattering. PhD thesis, Universität zu Köln. Open Access

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Abstract

The present thesis investigates the spectral statistics of superconducting-normalconducting hybrid systems. These hybrid systems are formed by a normal-metal non-integrable billiard being placed adjacent to a superconductor. The symmetry classification scheme of such systems due to Altland and Zirnbauer is at the basis of the thesis. For the mesoscopic systems described above, we give a semiclassical interpretation of the random-matrix theory prediction (by Altland and Zirnbauer) using periodic-orbit theory. Periodic-orbit theory links the quantum spectrum of a system with its classical periodic orbits. The model of choice for the treatment of the hybrid systems are quantum graphs. For an implementation of the hybrid character, the so-called Andreev scattering process is incorporated on the vertices of the graph. After an introduction to the concepts and methods used (chapter 1), a numerical treatise shows us how to generate an ensemble of graphs by appropriately choosing random scattering conditions at the vertices (chapter 2). The spectrum of these graphs coincides perfectly with the random-matrix theory predictions in the limit of large graphs. Models of Andreev graphs with symmetries of the classes C, CI, D, and DIII are formulated with the aid of Andreev star graphs (chapter 3). By the use of periodic-orbit theory, the short-time behaviour of the spectral form factor (the Fourier transform of the spectral density) is calculated semiclassically and shows excellent agreement with the predictions of Altland and Zirnbauer. All analytical calculations are supplemented with numerical results which are in perfect agreement with the analytical results and the random-matrix theory predictions. For symmetry classes C and CI, the approximation schemes developed with the help of quantum graphs have been carried over to the original physical system of Andreev billiards.

Item Type:

Thesis (PhD thesis)

Translated abstract:

Abstract

Language

Die vorliegende Arbeit untersucht die Spektralstatistik von normalleitend-supraleitenden Hybridsystemen mit nicht-integrabler klassischer Dynamik. Bestehen diese Systeme aus einem normalleitenden Billiard in Kontakt mit einem Supraleiter, werden diese Systeme auch als Andreev-Billiards bezeichnet. Aufbauend auf der Symmetrieklassifizierung von Altland und Zirnbauer, die für die stochastische Beschreibung der oben genannten Hybridsysteme Ensembles von Zufallsmatrizen formuliert, stellt diese Arbeit eine semiklassische Interpretation der Vorhersagen der Zufallsmatrix-Theorie dar. Dabei stützt sie sich auf die Gutzwillersche Spurformel, mit deren Hilfe ein Zusammenhang zwischen dem Quantenspektrum eines chaotischen Systems und seinen klassischen periodischen Orbits hergestellt wird. Die Modellierung der physikalischen Systeme wird mittels Quanten-Graphen bewerkstelligt, die im Rahmen der vorliegenden Arbeit zusätzlich mit dem Mechanismus der sogenannten Andreev-Streuung ausgestattet sind. Nach einer Einleitung in die Grundlagen (Kapitel 1) wird in einer numerischen Abhandlung gezeigt, wie Ensembles von Andreev-Graphen durch die Wahl zufälliger Streubedingungen auf den Knotenpunkten generiert werden können (Kapitel 2). Die Spektren für die derart erzeugten Graphen-Ensembles zeigen für große Graphen übereinstimmung mit Vorhersagen der zugehörigen Zufallsmatrix-Theorie. Nachfolgend werden Andreev-Billiards mit Symmetrien der Klassen C, CI, D und DIII durch sternförmige Andreev-Graphen modelliert (Kapitel 3). Für dieses System konnte mithilfe der Theorie periodischer Orbits im Bereich kurzer Zeiten der spektrale Formfaktor (Fourier-Transformierte der Zustandsdichte) in übereinstimmung mit den Vorhersagen von Altland und Zirnbauer reproduziert werden. Sämtliche analytisch gefundenen Ergebnisse wurden durch entsprechende numerische Arbeit bestätigt. Für die Symmetrieklassen C und CI wurden die im Rahmen der Graphen entwickelten Näherungen auf das ursprüngliche Andreev-Billiard übertragen.

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