Universität zu Köln

Prévost, Alexis Dominique Marie (2020). Percolation for the Gaussian free field and random interlacements via the cable system. PhD thesis, Universität zu Köln.

Preview

PDF Dissertation Alexis Prevost.pdf Download (2MB) | Preview

Abstract

This thesis studies the phase transition associated to the percolation for two different models: level sets of the Gaussian free field and vacant set of random interlacements. The Gaussian free field is a classical model of statistical mechanics, and the study of percolation for its level sets has been initiated by Bricmont and Saleur. Random interlacements is a model recently introduced by Sznitman, and the existence of an infinite component for its vacant set is linked to the existence of a giant component in the vacant set left by a random walk on a torus or a cylinder. These two models have long-range correlations, and compared to the usual independent percolation problem, it is challenging to just prove that the phase transition is non-trivial. We are interested in the existence of a coexistence phase, that is a phase on which the sets of open and closed vertices contain an infinite cluster at the same time. The underlying graph that we consider can be the integer lattice Zd, d > 2, or a more complicated graph, such as a Cayley or a fractal graph with some regularity conditions. One of our main tools is the cable system, a continuous version of the graph, on which one can derive surprisingly explicit results for the percolation of the level sets of the Gaussian free field. This was first noticed by Lupu on Zd, d > 2. Deep results about the existence of a coexistence phase for the discrete Gaussian free field follow from this thorough understanding of the percolative properties on the cable system. A powerful isomorphism between the Gaussian free field and random interlacements, first introduced by Sznitman, leads, in turn, to similar results for random interlacements. In order to understand better the particularities of percolation for the Gaussian free field on the cable system of the integer lattice, we extend and find new results on the cable system of a very general class of graphs using three new independent techniques. For instance, there is no coexistence phase for the level sets of the Gaussian free field on the cable system, and the law of the capacity of a given cluster can be written explicitly.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Diese Doktorarbeit studiert die Phasenänderung bezüglich Perkolation für zwei verschiedene Modelle: Niveaumengen des Gauss’schen freien Feldes und vacant set von random interlacements. Das Gauss’sche freie Feld ist ein klassisches Modell in der statistischen Mechanik, und die Untersuchung von Perkolation seiner Niveaumengen wurde zuerst von Bricmont and Saleur vorgenommen. Random interlacements ist ein kürzlich von Sznitman eingeführtes Modell, und die Existenz einer unendlichen Komponente in seinem vacant set ist eng verknüpft mit der Existenz einer riesigen Komponente in dem vacant set, welches durch eine Irrfahrt auf einem Torus oder einem Zylinder hinterlassen wird. Diese beiden Modelle besitzen eine weitreichende korrelationsstruktur. Im Vergleich zur gewöhnlichen unabhängigen Perkolation ist es schon eine Herausforderung zu zeigen, dass der Phasenübergang nicht trivial ist. Wir interessieren uns für die Existenz einer Koexistenzphase, das heißt eine Phase, auf welcher die Mengen geöffneter und geschlossener Knoten gleichzeitig eine unendliche Komponente enthalten. Der zugrundeliegende Graph kann das Gitter der ganzen Zahlen Zd, d > 2, oder ein komplizierterer Graph wie zum Beispiel ein Cayley- oder ein Fraktalgraph mit zusätzlichen Regularitätsbedingungen sein. Eines unserer Hauptwerkzeuge ist das cable system, eine stetige Version des Graphen, auf welchem man erstaunlich explizite Resultate für die Perkolation der Niveaumengen des Gauss’schen freien Feldes gewinnen kann. Dies wurde zuerst von Lupu auf Zd, d > 2, bemerkt. Weitreichende Ergebnisse über die Existence einer Koexistenzphase für das Gauss’sche freie Feld resultieren aus dem tiefen Verständnis des cable systems. Ein starker Isomorphismus zwischen dem Gauss’schen freien Feld und random interlacements, welcher zuerst von Sznitman eingeführt wurde, erlaubt ähnliche Ergebnisse für random interlacements. Um die Genauigkeit der Perkolation des Gauss’schen freien Feldes auf dem cable system des Gitters der ganzen Zahlen besser zu verstehen, erweitern wir bestehende und finden neue Ergebnisse auf dem cable system für eine sehr generelle Klasse von Graphen. Zum Beispiel gibt es keine Koexistenzphase für die Niveaumengen des Gauss’schen freien Feldes auf dem cable system und die KWahrscheinlichkeitsverteilung der Kapazität einer gegebenen Komponente kann explizit angegeben werden. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Prévost, Alexis Dominique Marie UNSPECIFIED UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-115744
Date:	24 July 2020
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Probability theory English Wahrscheinlichkeitstheorie German
Date of oral exam:	18 May 2020
Referee:	Name Academic Title Drewitz, Alexander Prof. Dr. Mörters, Peter Prof. Dr. Sapozhnikov, Artem Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/11574