Universität zu Köln

Steinert, Christian Pascal (2020). Fano Varieties and Fano Polytopes. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

The foundation of this thesis is the problem whether a given (normal) Gorenstein Fano variety can be degenerated to a toric Gorenstein Fano variety. We will only consider those degenerations that are compatible with the choice of an ample line bundle on the original variety and an ample rational Cartier divisor on the toric variety. This compatibility will be defined thoroughly and is always granted in applications in representation theory or Newton-Okounkov Theory. The main matter of this thesis contains the proof that in the setting of these compatible toric degenerations the originally chosen line bundle will be isomorphic to the anti-canonical line bundle if and only if the divisor on the toric variety is anti-canonical. The if-part is already known but the only-if-part is not. Its proof requires different methods from various areas of mathematical research. We will need multiple vanishing theorems and further results from algebraic geometry, methods from polyhedral geometry (especially Ehrhart theory), results on the Hilbert polynomial and facts about toric varieties. As a by-product we establish a connection between the Ehrhart quasi-polynomial of a rational polytope and the cohomology of an associated rational Weil divisor on a toric variety. Up until know, this connection was only known for polytopes with integral vertices and integral divisors. It allows us to interpret Ehrhart-Macdonald Reciprocity as a special case of Serre Duality. In the final chapter of this thesis we will show that there actually exists such a compatible toric degeneration for every partial flag variety of a complex classical group. The construction is done via so called string polytopes that have been established by Littelmann and Berenstein–Zelevinsky. For this purpose we need to prove a classification of integral string polytopes. The proof is done via a newly developed diagrammatic description of so called Gelfand-Tsetlin patterns in spirit of Hasse diagrams of partially ordered sets.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Fano-Varietäten und Fano-Polytope German
Translated abstract:	Abstract Language Ganz grundsätzlich beschäftigt sich diese Arbeit mit der Fragestellung, wann eine (normale) Gorenstein Fano Varietät zu einer torischen Gorenstein Fano Varietät degeneriert werden kann. Dabei betrachten wir nur solche Degenerierungen, die mit der Wahl eines amplen Linienbündels auf der ursprünglichen Varietät und eines amplen rationalen Cartier-Divisors auf der torischen Varietät verträglich sind. Diese Verträglichkeit wird in der Arbeit genauer präzisiert und ist in den Anwendungen der Darstellungstheorie oder auch in der Newton-Okounkov-Theorie stets gegeben. Im Hauptteil der Arbeit wird die Aussage bewiesen, dass bei solchen verträglichen torischen Degenerierungen von Gorenstein Fano Varietäten das ursprünglich gewählte Linienbündel genau dann isomorph zum antikanonischen Bündel ist, wenn der Divisor auf der torischen Varietät ein antikanonischer Divisor ist. Die Hinrichtung ist bereits seit einiger Zeit bekannt, doch die Rückrichtung noch nicht. Ihr Beweis benötigt verschiedene Methoden aus mehreren Teilgebieten der Mathematik. Wir werden diverse Verschwindungssätze und weitere Resultate aus der algebraischen Geometrie, Methoden aus der polyhedralen Geometrie (insbesondere der Ehrhart-Theorie), Resultate über das Hilbert-Polynom und Erkenntnisse über torische Varietäten verwenden. Nebenbei etablieren wir einen Zusammenhang zwischen dem Ehrhart Quasipolynom eines rationalen Polytops und der Kohomologie eines assoziierten rationalen Weil-Divisors auf einer torischen Varietät. Bisher war dieser Zusammenhang nur für Polytope mit ganzzahligen Eckpunkten und ganzzahlige Divisoren bekannt. Er erlaubt es, Ehrhart-Macdonald Reziprozität als Spezialfall von Serre-Dualität zu deuten. Im letzten Kapitel der Arbeit wird gezeigt, dass zu jeder partiellen Fahnenvarietät einer komplexen klassischen Gruppe tatsächlich eine solche verträgliche torische Degenerierung zu einer torischen Gorenstein Fano Varietät existiert. Die Konstruktion erfolgt mit Hilfe der von Littelmann und Berenstein–Zelevinsky etablierten Stringpolytope. Dazu muss eine Klassifizierung der ganzzahligen Stringpolytope bewiesen werden. Der Beweis erfolgt kombinatorisch über eine neuentwickelte diagrammatische Darstellung von so genannten Gelfand-Tsetlin-Mustern in Anlehnung an Hasse-Diagramme von partiell geordneten Mengen. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Steinert, Christian Pascal steinert@art.rwth-aachen.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-161378
Date:	14 October 2020
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Algebraic Geometry English Representation Theory English Fano Varieties English Mirror Symmetry English Polytopes English String Polytopes English Flag Varieties English Okounkov Bodies UNSPECIFIED
Date of oral exam:	8 September 2020
Referee:	Name Academic Title Littelmann, Peter Prof. Dr. Fourier, Ghislain Prof. Dr. Kaveh, Kiumars Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/16137