Universität zu Köln

Rappel, Valentin Maximilian (2020). The path model and Bott–Samelson manifolds in the context of loop groups. PhD thesis, Universität zu Köln.

Preview

PDF main.pdf - Accepted Version Bereitstellung unter der CC-Lizenz: Creative Commons Attribution Non-commercial. Download (346kB) | Preview

Abstract

We realize the Littelmann path model and the associated root operators on the loop groups of the torus in a compact, simple Lie group. For integral loops - those loops with a good combinatorial description of the root operators - we define a geometric interpolation of the root operators through Bott–Samelson manifolds, whose definition we generalize for this purpose. We embed these manifolds in the loop group of the simple group and give a criterion under which the symplectic structure of the loop group restricts to a symplectic structure of the Bott–Samelson manifold. For loops in dominant direction we compute the image under the moment map. To establish a complex structure we give a diffeomorphism between the Bott–Samelson manifolds and the Bott–Samelson–Demazure–Hansen variety associated to a gallery in the affine building. This map is compatible with the root operators, and we interpret the results of Gaussent and Littelmann in the context of the gallery model anew. By means of this interpretation we define isotopic embeddings of Mirković-Vilonen cycles into the differential-geometric loop group. For this purpose we investigate the behavior of the Bott–Samelson manifold under homotopies of the underlying loop. A consequence of this is another criterion to determine the image of the moment map.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Das Pfadmodell und Bott–Samelson Mannigfaltigkeiten im Kontext von Schleifengruppen German
Translated abstract:	Abstract Language Wir realisieren das Littelmann Pfad Modell und die zugehörigen Wurzeloperatoren auf der Schleifengruppe des Torus einer kompakten, einfachen Lie Gruppe. Für integrale Schleifen - solche mit guter kombinatorischer Beschreibung der Wurzeloperatoren - geben wir eine geometrische Interpolation der Wurzeloperatoren mittels Bott–Samelson Mannigfaltigkeiten, deren Definition wir für diesen Zweck erweitern. Wir betten diese Mannigfaltigkeiten in die Schleifengruppe der einfachen Gruppe ein und geben ein Kriterium an, unter dem die symplektische Struktur der Schleifengruppe zu einer symplektis chen Struktur der Bott–Samelson Mannigfaltigkeit einschränkt. Für Schleifen in dominante Richtung berechnen wir das Bild unter der Impulsabbildung. Um eine komplexe Struktur zu etablieren, geben wir einen Diffeomorphismus zwischen den Bott–Samelson Mannigfaltigkeiten und den Bott–Samelson–Demazure–Hansen Varietäten assoziiert zu einer Gallerie im affinen Gebäude an.Diese Abbildung ist verträglich mit Wurzeloperatoren, und wir interpretieren die Ergebnisse von Gaussent und Littelmann im Rahmen des Gallerienmodells neu. Durch diese Interpretation definieren wir isotope Einbettungen der Mirković-Vilonen Zykel in die differentialgeometrische Schleifengruppe. Wir untersuchen dazu das Verhalten der Bott–Samelson Mannigfaltigkeit unter Homotopien der zugrundeliegenden Schleifen. Eine Folgerung davon ist ein weiteres Kriterium, um das Bild der Impulsabbildung zu bestimmen. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Rappel, Valentin Maximilian UNSPECIFIED UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-362181
Date:	2020
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Loop groups English Littelmann Path model English Bott–Samelson manifolds English MV cycles English Gallery model English MV polytopes English Representation Theory English Symplectic Geometry English Bott-Samelson varieties UNSPECIFIED
Date of oral exam:	26 January 2021
Referee:	Name Academic Title Littelmann, Peter Prof. Dr. Fourier, Ghislain Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/36218