Universität zu Köln

Gruner, Kevin Tim (2021). The Dressing method: Application to selected integrable models. PhD thesis, Universität zu Köln.

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• The Dressing method: Application to selected integrable models. (deposited 20 Apr 2021 10:23) [Currently Displayed]

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Abstract

The AKNS system, an integrable system of partial differential equations (PDEs), has been introduced in 1974 by and named after Mark J. Ablowitz, David J. Kaup, Alan C. Newell and Harvey Segur. Following the scheme developed for these systems, the integrable initial value problem on the line can be rewritten as a compatibility condition, or as a zero curvature condition, of two linear ordinary differential equations. Important examples falling into this category are the nonlinear Schrödinger (NLS) equation and the sine-Gordon (sG) equation. A particular class of internal boundary conditions, the defect conditions, have been investigated for which in some cases it can be verified that integrability is preserved. Further, the combination of such a defect condition with a boundary condition has in specific cases proven instructive in the derivation of integrable initial-boundary value problems regarding the mentioned PDEs on the half-line. Particularly, the new boundary conditions for the NLS equation on the half-line have been constructed through this approach. However, even though integrability of these models has been treated by several authors in the field, the construction of actual solutions is a subject which has been barely worked on. One approach in the direction of solution construction has been developed based on the ideas of the unified transform method combined with the Dressing method, which is commonly known as dressing the boundary. In this thesis, we develop this method further and apply it to all models mentioned thereby constructing explicit soliton solutions therein.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Die Dressing Methode: Anwendung auf ausgewählte integrable Modelle German
Translated abstract:	Abstract Language Das AKNS System, ein integrables System partieller Differentialgleichungen (PDEs), ist 1974 von Mark J. Ablowitz, David J. Kaup, Alan C. Newell und Harvey Segur eingeführt und nach diesen benannt worden. Folgt man dem Schemata, das für diese Systeme entwickelt worden ist, so lässt sich ein integrables Anfangswertproblem auf der reellen Linie zu einer Kompatibilitätsbedingung, oder einer Nullkrümmungsbedingung, bezüglich zweier linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen umschreiben. Wichtige Beispiele, die in diese Kategorie fallen, sind die nichtlineare Schrödinger-Gleichung (NLS) und die sinus-Gordon-Gleichung (sG). Eine bestimmte Klasse von internen Randbedingungen, die Defektbedingungen, ist untersucht worden und dabei ist festgestellt worden, dass in besonderen Fällen die Integrabilität erhalten werden kann. Des Weiteren hat sich die Kombination einer solchen Defektbedingung mit einer Randbedingung in speziellen Fällen als hilfreich in der Herleitung von integrablen Anfangsrandwertproblemen in den erwähnten PDEs auf der reellen Halbgeraden herausgestellt. Insbesondere sind mit diesem Ansatz die neuen Randwertbedingungen für die NLS-Gleichung konstruiert worden. Bisher ist in der Literatur zu diesem Thema hauptsächlich die Integrabilität behandelt worden und weniger die Konstruktion von expliziten Lösungen. Ein Ansatz für die Konstruktion von Lösungen ist basierend auf den Ideen der einheitliche Transformationsmethode und der Dressing Methode entwickelt worden und ist allgemein bekannt als „dressing the boundary“. In dieser Arbeit entwickeln wir diese Methode weiter und wenden sie dann auf alle erwähnten Modelle an. Damit konstruieren wir in diesen Modellen explizite Soliton Lösungen. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Gruner, Kevin Tim kgruner@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-371366
Date:	19 March 2021
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Nichtlineare Schrödinger Gleichung UNSPECIFIED Sinus-Gordon Gleichung UNSPECIFIED Solitone UNSPECIFIED
Date of oral exam:	16 February 2021
Referee:	Name Academic Title Kunze, Markus Prof. Dr. Marinescu, George Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/37136