Universität zu Köln

Klukas, Mirko (2012). Constructions of open books and applications of convex surfaces in contact topology. PhD thesis, Universität zu Köln.

Preview

PDF PHD-Thesis.pdf - Accepted Version Download (662kB)

Abstract

In the present thesis we introduce an extension of the contact connected sum, in the sense that we replace the tight $3$-balls by standard neighbourhoods of Legendrian graphs $G \subset (S^3,\xi_{st})$. By the use of convex surface theory we show that there is a Weinstein cobordism from the original contact manifold to the result of the extended contact connected sum. We approach the analogue of this result in higher dimensions, using different methods, and present a generalised symplectic $1$-handle which is used for the construction of exact symplectic cobordisms. Furthermore we describe compatible open books for the fibre connected sum along binding components of open books as well as for the fibre connected sum along multi-sections of open books. Given a Legendrian knot $L$ with standard neighbourhood $N$ in a closed contact $3$-manifold $(M,\xi)$, the homotopy type of the contact structure $\xi|_{M\setminus N}$ on the knot complement depends on the rotation number of $L$. We give an alternative proof of this folklore theorem, as well as for a second folklore theorem that states, up to stabilisation, the classification of Legendrian knots is purely topological. Let $\zeta$ denote the standard contact structure on the $3$-dimensional torus $T^3$. Denoting by $\Xi{(T^3,\zeta)}$ the connected component of $\zeta$ in the space of contact structures on $T^3$, we show that the fundamental group $\pi_1\big( \Xi{(T^3,\zeta)} \big)$ is isomorphic to $\mathbb{Z}$.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language In der vorliegenden Arbeit erweitern wir die Kontakt-verbundene Summe indem wir die straffen $3$-B\"alle durch Standardumgebungen von Legendre Graphen $G \subset (S^3,\xi_{st})$ ersetzen. Mit Hilfe von konvexen Fl\"achen zeigen wir die Existenz eines Weinstein Kobordismuses zwischen der urspr\"unglichen Kontaktmannigfaltigkeit und dem Resultat der erweiterten verbundenen Summe. Mit anderen Methoden zeigen wir ein analoges Resultat in h\"oheren Dimensionen und pr\"asentieren einen verallgemeinerten symplektischen $1$-Henkel mit dessen Hilfe wir exakte symplektische Kobordismen konstruieren. Dar\"uber hinaus konstruieren wir sowohl kompatible offene B\"ucher f\"ur die Faser-verbundene Summe entlang von Bindungskomponenten offener B\"ucher, als auch kompatible offene B\"ucher f\"ur die Faser verbundene Summe entlang von mehrfachen Schnitten offener B\"ucher. F\"ur einen gegebenen Legendre Knoten $L \subset (M,\xi)$ mit Standardumgebung $N$ in einer Kontaktmannigfaltigkeit $(M,\xi)$ h\"angt der Homotopietyp der Kontaktstruktur $\xi|_{M \setminus N}$ \"uber dem Knotenkomplement von der Rotationszahl von $L$ ab. Wir geben einen alternativen Beweis sowohl f\"ur dieses als auch f\"ur ein weiteres Folkloretheorem, das besagt, dass die Klassifikation von Legendre Knoten, bis auf Stabilisierungen, rein topologischer Natur ist. Sei mit $\zeta$ die Standardkontaktstruktur auf dem $3$-dimensionalen Torus $T^3$ bezeichnet. Ferner bezeichne $\Xi{(T^3,\zeta)}$ die Zusammenhangskomponente von $\zeta$ im Raum der Kontaktstrukturen auf $T^3$, dann zeigen wir, dass die Fundamentalgruppe $\pi_1\big( \Xi{(T^3,\zeta)} \big)$ isomorph zu $\Z$ ist. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Klukas, Mirko mirko.klukas@gmail.com UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-47706
Date:	March 2012
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language contact topology, open books, convex surfaces English
Date of oral exam:	11 May 2012
Referee:	Name Academic Title Geiges, Hansjörg Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/4770