Universität zu Köln

Kus, Deniz (2013). Weyl modules for equivariant map algebras and Kirillov-Reshetikhin crystals. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

The representation theory of (twisted) loop and current algebras has gained a lot of attraction during the last decades, e.g. local Weyl modules, Demazure modules and Kirillov-Reshetikhin modules were investigated intensively. The equivariant map algebras are a large class of algebras that are generalizations of (twisted) loop and current algebras. We have extended the definition of local Weyl modules to the setting of equivariant map algebras where g is semisimple, X is affine of finite type, and the group T is abelian and acts freely on X. We have established a link, particularly an isomorphism, between certain categories of representations of equivariant map algebras and their untwisted analogues. We have also shown that other properties of local Weyl modules (e.g. their characterization by homological properties and a tensor product property) extend to the more general setting of equivariant map algebras. When the assumption of freeness does not hold we have investigated local Weyl modules for twisted current algebras. We have identified them with corresponding affine Demazure modules and have given an explicit construction from untwisted Weyl modules which generalize the fusion product. Therefore, we deduce from these results dimension and character formulas. On the combinatorial representation theory side, we have given an explicit realization of Kirillov-Reshetikhin crystals for the affine type A via polytopes. The advantage of this realization is mainly the fact that all formulas are explicit. This realization allows to describe explicitly the combinatorics of crystal bases of Kirillov-Reshetikhin modules.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Die Darstellungstheorie von (getwisteten) Schleifen-und Stromalgebren hat in den letzen Jahrzenten stark an Attraktivität gewonnen, z.B. wurden lokale Weylmoduln, Demazuremoduln und Kirillov-Reshetikhin-Moduln intensiv untersucht. Die äquivarianten Funktionenalgebren stellen eine umfangreiche Klasse von Algebren dar, welche die (getwisteten) Schleifen-und Stromalgebren verallgemeinern. Wir haben die Definition von lokalen Weylmoduln für äquivariante Funktionenalgebren erweitert, wo g halbeinfach, X affin vom endlichen Typ und die Gruppe T eine abelsche Gruppe ist, die frei auf X operiert. Wir haben eine Verbindung, genauer einen Isomorphismus, zwischen einer Unterkategorie von Darstellungen von äquivarianten Funktionenalgebren und deren ungetwisteten Analoga erzielt. Wir haben ebenfalls gezeigt, dass weitere Eigenschaften von lokalen Weylmoduln (z.B. deren Charakterisierung durch homologische Eigenschaften und eine Tensorprodukt-Eigenschaft) auch für äquivariante Funktionenalgebren gelten. In dem Fall wo die Operation nicht frei ist, haben wir lokale Weylmoduln für getwistete Stromalgebren untersucht. Wir haben diese mit affinen Demazuremoduln identifiziert und eine explizite Konstruktion dieser ausgehend von ungetwisteten Weylmoduln angegeben, die das Fusionsprodukt verallgemeinert. Mit Hilfe dieser Resultate haben wir somit eine Dimensions und Charakterformel erhalten. Auf der Seite der Kombinatorischen Darstellungstheorie haben wir eine explizite Realisierung von Kirillov-Reshetikhin-Kristallen über Polytope für den affinen Typ A bewiesen. Der Vorteil dieser Realisierung besteht darin, dass alle Formeln explizit angegeben sind. Diese Realisierung erlaubt es die Kombinatorik von kristallinen Basen von Kirillov-Reshetikhin-Moduln zu beschreiben. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Kus, Deniz dkus@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-52002
Date:	2013
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Weyl modules, Demazure modules, crystals, PBW basis English Weylmoduln, Demazuremoduln, Kristalle, PBW Basen German
Date of oral exam:	25 June 2013
Referee:	Name Academic Title Littelmann, Peter Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/5200