Universität zu Köln

Wang, Yi-Fan ORCID: 0000-0002-0331-7463 (2021). Porting conventional tools to quantum geometrodynamics. PhD thesis, Universität zu Köln.

All available versions of this item

• Porting conventional tools to quantum geometrodynamics. (deposited 07 Oct 2021 07:26) [Currently Displayed]

Preview

PDF main.pdf - Updated Version Bereitstellung unter der CC-Lizenz: Creative Commons Attribution No Derivatives. Download (4MB) | Preview

Abstract

As the prevailing theory of gravitation, the general theory of relativity successfully describes classical gravitation, but has yet to be consistently quantised, despite the efforts of generations of physicists in over a hundred years. One of the first attempts to quantise general relativity directly is the Wheeler–DeWitt approach. It begins with the Hamiltonian formulation of this theory by Arnowitt, Deser and Misner, and applies the quantisation scheme of Dirac, designed for constrained systems, including the Dirac spinors and the Maxwell theory, among others. This approach, also known as quantum geometrodynamics, is successful in the semi-classical method of Wentzel–Kramers–Brillouin (WKB) and Born–Oppenheimer, and has been applied to quantum models of universes and black holes. Unfortunately, because of the constrained nature of general relativity (from another perspective, its diffeomorphism invariance), its quantised version à la Dirac lacks many properties that are crucial in conventional quantum theory. Particularly, the scalar product of quantum states is difficult to define, rendering the non-existence of a Hilbert space, and of the analysis of self-adjoint operators. Moreover, the semi-classical approach described above only works for wave functions in the WKB form, which contain the classical Hamilton’s principal function as a phase factor in the leading-order approximation. For wave-packets, which naturally arise in many realistic systems, even their corresponding semi-classical trajectories cannot be calculated; in conventional quantum mechanics, in contrast, one can refer to the Ehrenfest theorem if the wave-packet is sharp. In this dissertation, we try to address these problems of the Wheeler–DeWitt approach by porting conventional tools in physics and mathematics to this context. We study a two-dimensional minisuperspace model, related to physical cosmological models, to illustrate our arguments. Under the WKB approximation, we show that a narrow Gaussian wave-packet has “maxima” on the semi-classical trajectory, which is given by the stationary phase principle, that also governs the WKB approach. In other words, these two semi-classical approaches are consistent in the semi-classical trajectory. By considering additional conditions, an effective Hilbert space emerges from our minisuperspace model, and the Hamiltonian, responsible for the energy spectrum, can have non-trivial self-adjoint extensions. We study its self-adjoint domains in detail and argue that these mathematical properties could lead to physical effects. In order to maintain consistency of our new tools for both quantum gravitation and conventional quantum theory, we construct a framework of stationary wave-packets, that make sense for both the minisuperspace Wheeler–DeWitt equation and the stationary Schrödinger equation. In doing so, we also argue for the suitable choice of amplitudes when constructing wave-packets. The framework is then tested by the model of two-dimensional hydrogen atom. Finally, we discuss approaches to find the semi-classical trajectories from arbitrary wave-packets, which are methods for ridge-detection. We discuss different mathematical descriptions of ridge-lines, which were historically developed for Riemannian geometry with Euclidean metric signature. Then we try to generalise these descriptions to pseudo-Riemannian geometry with Lorentzian metric signature, which is the usual case of minisuperspaces. In the end, we give proposals of prospective physical applications.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Übertragung konventioneller Werkzeuge auf die Quantengeometrodynamik German 遷移傳統工具至幾何動力學 Chinese
Translated abstract:	Abstract Language Als vorherrschende Gravitationstheorie beschreibt die Allgemeine Relativitätstheorie zwar erfolgreich die klassischen Gravitation, konnte aber trotz der Bemühungen von Generationen von Physikerinnen und Physikern in über hundert Jahren noch nicht konsistent quantisiert werden. Einer der ersten Versuche, die Allgemeine Relativitätstheorie direkt zu quantisieren, ist der Wheeler–DeWitt-Ansatz. Er beginnt mit der Hamiltonschen Formulierung dieser Theorie von Arnowitt, Deser und Misner, und wendet das Quantisierungsschema von Dirac an, was für Systeme mit Zwangsbedingungen entworfen wurde, unter anderem für die Dirac-Spinoren und die Maxwell-Theorie. Dieser Ansatz, der auch als Quantengeometrodynamik bezeichnet wird, ist in der semiklassischen Methode von Wentzel–Kramers–Brillouin (WKB) und Born–Oppenheimer erfolgreich und auf Quantenmodelle von Universen und Schwarzen Löchern angewendet worden. Leider fehlen ihrer quantisierten Version à la Dirac aufgrund der Zwangsbedingungen (oder der Diffeomorphismusinvarianz) der Allgemeinen Relativitätstheorie viele Eigenschaften, die in der konventionellen Quantentheorie entscheidend sind. Insbesondere ist das Skalarprodukt von Quantenzuständen schwer zu definieren, was die Nichtexistenz eines Hilbert-Raums sowie der Analyse selbstadjungierter Operatoren zur Folge hat. Außerdem funktioniert der oben beschriebene semiklassische Ansatz für Wellenfunktionen in der WKB-Form, die in der ersten Ordnung die klassische Wirkung als Phasenfaktor enthalten. Für Wellenpakete, die natürlich in vielen realistischen Systemen vorkommen, können nicht einmal die entsprechenden semi-klassischen Trajektorien berechnet werden; in der konventionellen Quantenmechanik kann man dagegen auf das Ehrenfest-Theorem zurückgreifen, wenn das Wellenpaket scharf ist. In dieser Dissertation versuchen wir, diese Probleme des Wheeler–DeWitt-Ansatzes zu lösen, indem wir konventionelle Werkzeuge der Physik und Mathematik auf diesen Kontext übertragen. Wir untersuchen ein zweidimensionales Minisuperraum-Modell, das mit physikalischen kosmologischen Modellen verwandt ist, um unsere Argumente zu illustrieren. Unter der WKB-Näherung zeigen wir, dass ein schmales Gaußsches Wellenpaket „Maxima“ auf der semiklassischen Trajektorie hat, die durch das stationäre Phasenprinzip gegeben ist, das auch den WKB-Ansatz steuert. Mit anderen Worten, diese beiden semiklassischen Ansätze sind auf der semiklassischen Trajektorie konsistent. Durch die Berücksichtigung zusätzlicher Bedingungen entsteht aus unserem Minisuperraum-Modell ein effektiver Hilbert-Raum, und der für das Energiespektrum zuständige Hamiltonoperator kann nicht-triviale selbstadjungierte Erweiterungen haben. Wir untersuchen seine selbstadjungierten Definitionsbereiche im Detail und argumentieren, dass diese mathematischen Eigenschaften zu physikalischen Effekten führen könnten. Um die Konsistenz unserer neuen Werkzeuge sowohl für die Quantengravitation als auch für die konventionelle Quantentheorie aufrechtzuerhalten, konstruieren wir ein Gerüst, das wir stationäre Wellenpakete nennen und das sowohl für die Minisuperraum Wheeler–DeWitt-Gleichung als auch für die stationäre Schrödinger-Gleichung sinnvoll ist. Dabei argumentieren wir auch für die geeignete Auswahl der Amplituden bei der Konstruktion von Wellenpaketen. Die Konstruktion wird dann anhand des Modells des zweidimensionalen Wasserstoffatoms getestet. Schließlich diskutieren wir Ansätze, um die semiklassischen Trajektorien aus beliebigen Wellenpaketen zu finden, die Methoden zur Ridge-Erkennung sind. Wir diskutieren verschiedene mathematische Beschreibungen von Kammwegen, die historisch für die Riemannsche Geometrie mit euklidischer metrischer Signatur entwickelt wurden. Dann versuchen wir, diese Beschreibungen auf pseudo-Riemannsche Geometrie mit Lorentzscher metrischer Signatur zu verallgemeinern, was der übliche Fall für Minisuperräumen ist. Zum Schluss geben wir Vorschläge für mögliche physikalische Anwendungen. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Wang, Yi-Fan yifan.wang@mail.cmp0xff.name orcid.org/0000-0002-0331-7463 UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-531602
Date:	2021
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Physics > Institute for Theoretical Physics
Subjects:	Mathematics Physics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language geometrodynamics; quantum cosmology; wave-packet; self-adjoint extension; ridge-line; WKB approximation English 幾何動力學; 量子宇宙學; 波包; 自伴擴張; 山脊線； WKB 近似 Chinese Geometrodynamik; Quantenkosmologie; Wellenpaket; selbstadjungierte Erweiterung; Kammweg; WKB-Näherung German
Date of oral exam:	19 July 2021
Referee:	Name Academic Title Kiefer, Claus Prof. Dr. Callebaut, Nele Jun.-Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/53160